第57页 - 启东中学作业本八年级数学江苏版宿迁专版

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$(1)证明:∵F是AB的中点，∴AF=BF，\ $

$在△ADF和△BEF中， \begin{cases}{AF=BF，}\\{∠AFD=∠BFE，}\\{DF=EF，}\end{cases}\ \ $

$∴△ADF≌△BEF(\mathrm{SAS}).$

$（更多请查看作业精灵详解）$

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$证明:∵D，F分别为边AC，AB的中点，$

$∴DF//BC，DF=\frac{1}{2} BC.$

$∵EF=DF，$

$∴EF=\frac{1}{2} DE，$

$∴DF+EF=DE=BC，$

$\ ∴四边形BCDE是平行四边形. $

$证明:∵四边形ABCD是正方形，\ $

$∴BC=CD，∠BCD=90°.$

$∵CE⊥BG，DF⊥CE，$

$∴∠BEC=∠DFC=90°，\ $

$∴∠BCE+∠CBE=90°，$

$∠BCE+∠DCF=90°，$

$\ ∴∠CBE=∠DCF.\ $

$在△CBE和△DCF中，$

$\begin{cases}{∠EBC=∠FCD，}\\{∠BEC=∠CFD\ ，}\\{BC=CD，}\end{cases}$

$∴△CBE≌△DCF(\mathrm{AAS})，$

$∴CF=BE，CE=DF.\ $

$∵CE=EF+CF，$

$∴DF=BE+EF.$

$解:BE=PC.$

$理由如下:如图，连接OB.$

$∵四边形ABCD是正方形，O为AC的中点，$

$∴OB=OC，OB⊥OC，$

$∵OE⊥OP，$

$∴∠EOP=∠BOC=90°，$

$∴∠EOB+∠BOP=∠POC+∠BOP，$

$∴∠EOB=∠POC，$

$∵OE⊥OP，BP⊥CP，$

$∴∠E+∠OPE=∠OPC+∠OPE=90°，$

$∴∠E=∠OPC.$

$在△BOE与△COP中，$

$\begin{cases}{∠E=∠OPC，}\\{∠EOB=∠POC，}\\{OB=OC，}\end{cases}$

$∴△BOE≌△COP(\mathrm{AAS})，$

$∴BE=PC. $

$解:BP+CP=\sqrt{2} OP.$

$理由如下:$

$由(1)知，△BOE≌△COP，$

$∴BE=CP，OE=OP，$

$∴\mathrm{Rt}△EOP是等腰直角三角形，$

$∴EP= \sqrt{OE^2+OP^2}=\sqrt 2OP，$

$∵EP=BP+BE=BP+CP，$

$∴BP+CP=\sqrt2OP. $