第24页 - 经纶学典新课时作业八年级数学上下册【江苏国标】

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解:四边形EFGH是正方形.

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$解:∵DE//BC，EF//DC，$

$∴四边形DCFE是平行四边形 $

$∴EF=CD=2，CF=DE $

$设CD与BE的交点为O，$

$∵CD⊥BE，EF//DC， $

$∴∠BEF=∠BOC=90°，$

$∴EF⊥BE，$

$ \begin{aligned} ∴BC+DE&=BC+CF \\ &=BF \\ &= \sqrt{BE²+EF²} \\ &=\sqrt{13} \\ \end{aligned}$

解:连接AE、CE，如图.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//DC且AB=DC.

∵四边形ABEF是矩形，

∴AB//FE，AB=FE，BF=AE，

∴DC//FE，DC=FE，

∴四边形DCEF是平行四边形，

∴CE=DF.

∵AC=BF=DF，∴AC=AE=CE，

∴△ACE是等边三角形，

∴∠ACE=60°.

∵CE//DF，∴∠DGC=∠ACE=60°.

$解:①在▱ABCD中，AB//CD， $

$∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-α， $

$∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形， $

$∴∠HAD=∠EAB=45°， $

$ \begin{aligned}∴∠HAE&=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD \\ &=360°-45°-45°-(180°-α) \\ &=90°+α \\ \end{aligned}$

$②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形， $

$∴AE=\frac{\sqrt{2}}{2}AB， $

$DG=\frac{\sqrt{2}}{2}CD. $

$在▱ABCD中，AB=CD，$

$∴AE=DG. $

$∵△AHD和△DGC都是等腰直角三角形， $

$∴∠HDA=∠CDG=45°， $

$ \begin{aligned}∴∠HDG&=∠HDA+∠ADC+∠CDG \\ &=90°+α \\ &=∠HAE. \\ \end{aligned}$

$∵△AHD是等腰直角三角形，$

$∴HA=HD， $

$∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG. $

$③四边形EFGH是正方形. $

$理由:由②同理可得GH=GF，FG=FE， $

$∵HE=HG，$

$∴GH=GF=EF=HE， $

$∴四边形EFGH是菱形 $

$∵△HAE≌△HDG，$

$∴∠DHG=∠AHE $

$∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，$

$∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°， $

$∴四边形EFGH是正方形.$