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解：​$AD∶BE=2∶3$​
∵​$S_{△ABC}=\frac 12×AD×BC=\frac 12×AC×BE$​
且又∵​$AC∶BC=2∶3$​
∴​$AD∶BE=2∶3$​
解：∵​$BD$​平分​$∠ABC$​
∴​$∠ABD=∠DBC$​
∵​$DE//BC $​
∴​$∠1=∠DBC$​
∵​$DF//AB $​
 ∴​$∠2=∠ABD$​
∴​$∠1=∠2 $​
解：D、E、F分别为所在边的中点，如图所示，M是CF的中点，N是CE的中点
证明： ∵​$D E / / A B$​
∴​$\angle E D A=\angle B A D $​
∵​$D F / / A C$​
∴​$\angle F D A= \angle E A D$​
∵​$A D $​是​$ \triangle A B C $​的角平分线
∴​$\angle E A D=\angle B A D$​
∴​$\angle E D A=\angle F D A$​
∴​$O D $​是​$ \triangle D E F $​的角平分线
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