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$证明:(1)∵ 四边形ABCD是矩形，$

$∴AB//CD，∴∠ACD=∠CAB.\ $

$∵∠EDC=∠CAB，∴∠EDC=∠ACD，$

$∴AC//DE.$

$解:(2)四边形BCEF是平行四边形.$

$理由如下:$

$∵BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，$

$∴ ∠AFB=∠DEC=90°，DC=AB.$

$在△CDE和△BAF中，$

$\begin{cases}{ ∠DEC=∠AFB, }\ \\ {∠EDC=∠FAB,\ } \\{CD=BA,}\end{cases}\ $

$ ∴△CDE≌△BAF(AAS)，$

$∴CE-BF，DE=AF.$

$∵DE=AF，DE//AF，$

$∴四边形ADEF是平行四边形.$

$ ∴AD=EF.$

$∵AD=BC，∴EF=BC.$

$又∵CE=BF，$

$∴四边形BCEF是平行四边形.$

$\sqrt {41}\ $

$解:(1)如选这名成员在题图①中发现的结论，$

$理由如下: 连接DN.∵四边形ABCD是矩形，$

$∴OB=OD.∵∠DON=90°，∴BN=DN.$

$∵∠BCD=90°，∴DN²=CD²+CN²，$

$∴BN²=CD²+CN².$

$(2)BN²+DM²=CM²+CN².理由如下:$

$延长NO交AD于点P，连接PM、MN.$

$∵四边形ABCD是矩形，$

$∴OD=OB，AD//BC，∴∠DPO=∠BNO，$

$在△BON和△DOP中，\begin{cases}{ ∠BNO=∠DPO, }\ \\ {∠NBO=∠PDO,\ } \\{OB=OD,}\end{cases}\ $

$ ∴△BON≌△DOP(AAS)，$

$∴ON=OP，BN=PD.$

$∵∠MON=90°，∴PM=MN.$

$∵∠ADC=∠BCD=90°，$

$∴ PM²=PD²+DM²，MN²=CM²+CN²，$

$∴PD²+DM²=CM²+CN²，$

$∴BN²+DM²=CM²+CN².$