第75页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

(-1，-1)

②(或③)

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$证明:(1)∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，$

$∴DE//AC，EF//AB.$

$∴四边形ADEF是平行四边形.$

$(2)选择②证明:∵AE平分∠BAC，$

$∴∠DAE=∠FAE.$

$又∵四边形ADEF为平行四边形，$

$∴EF//DA，∴∠DAE=∠FEA，$

$∴∠FAE=∠FEA，∴AF=EF，$

$∴平行四边形ADEF为菱形.$

$选择③证明:∵D、F分别是边AB、AC的中点，$

$∴AD=\frac{1}{2}AB，AF=\frac{1}{2}C.$

$∵AB=AC，∴AD=AF，$

$∴平行四边形ADEF为菱形.\ $

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$证明:∵四边形ABCD是平行四边形，$

$∴AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，$

$∴∠ABE=∠CDF.$

$∵点E、F分别为OB、OD的中点，$

$∴BE=\frac{1}{2}OB，$

$DF=\frac{1}{2}OD，$

$∴BE=DF.在△ABE和△CDF中，$

$\begin{cases}{ AB=CD, }\ \\ { ∠ABE=∠CDF, } \\{BE=DF,}\end{cases}\ $

$∴△ABE≌△CDF(SAS).$

$解:当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.理由如下:$

$∵AC= 2OA，AC=2AB，$

$∴AB=OA.$

$∵E是OB的中点，$

$∴AG⊥OB，$

$∴∠OEG=90°，$

$∴∠AEB=90°.$

$∵△ABE≌△CDF，$

$∴∠CFD=90°，\ $

$∴CF⊥OD，$

$∴AG//CF，$

$∴EG//CF.$

$∵EG=AE，OA=OC，$

$∴OE是△ACG的中位线，$

$∴OE//CG，$

$∴EF//CG，$

$∴四边形EGCF是平行四边形.$

$∵∠OEG=90°，$

$∴平行四边形EGCF是矩形.$

$证明:∵ 四边形APCD是正方形，$

$∴PD平分∠APC，PC=PA，$

$∴∠APD=∠CPD=45°.$

$又PE=PE，$

$∴△AEP≌△CEP(SAS).$

$解:CF⊥AB.理由如下:$

$如图，设CF与AP交于点M，$

$∵△AEP≌ △CEP，$

$∴ ∠EAP=∠ECP.$

$∵ ∠EAP=∠BAP，$

$∴∠BAP=∠FCP.$

$∵∠FCP+∠CMP=90°，∠AMF=∠CMP，$

$∴∠AMF+∠BAP=90°，$

$∴∠AFM=90°，$

$∴CF⊥AB.$

$解:如图，作CN⊥BG于点N，$

$∴∠CNP=90°，$

$∴∠PCN+∠CPN= 90°.$

$∵∠APC=90°，$

$∴∠APB+∠CPN=90°，$

$∴∠PCN=∠APB.$

$在△ABP和△PNC中，$

$\begin{cases}{\ ∠B=∠PNC=90°,}\ \\ { ∠APB=∠PCN, } \\{AP=PC,}\end{cases}\ $

$\ ∴ △ABP≌△PNC，$

$∴PB=CN，PN=AB=8.$

$∵∠CNP=∠B=∠CFB=90°，$

$∴四边形BFCN是矩形，$

$∴CN=BF，CF=BN，$

$∴PB=BF.$

$∵△AEP≌△CEP，$

$∴EC=EA，$

$∴△AEF的周长=EA+EF+AF=EC+EF+AF=CF+AF=BN+AF=(8+PB)+(8-BF)=16.$