第39页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

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$解：(2)如图所示$

$作法：①过点A作AE//l，$

$在AE上截取AA'=a$

$②作点B关于直线1的对称$

$点B'，连接A'B'交直线l于点N$

$③过点A作 AM//A'B'，$

$交直线于点M，则点M、N即为所求$

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解：(1)如图所示

(2)如图所示

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$解：(1)如图①所示$

$根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”,$

$以l为对称轴,作点A的对称点A',连接A'B,$

$与l的交点即为所求点M$

$解：(1)猜想： \angle P O P^{\prime \prime}=2 α，理由 ∶如图 $

$在 \triangle D O P 与 \triangle D O P^{\prime} 中$

$\begin{cases}{O D=O D}\\{ \angle P D O=\angle P^{\prime}\ \mathrm {D} O}\\{D P=D P^{\prime}}\end{cases}$

$∴\triangle D O P≌\triangle D O P^{\prime}$

$∴\angle D O P=\angle D O P^{\prime}\ $

$同理可得， \triangle E O P^{\prime \prime}≌\triangle E O P^{\prime}$

$∴\angle E O P^{\prime \prime}= \angle E O P^{\prime}$

$∵\angle E O P^{\prime}+\angle D O P^{\prime}=\angle A O B=α$

$∴\angle P O P^{\prime \prime}=2 α$

$解：(2)成立$

$如图，当点 P 在 \angle A O B 内时$

$同 (1) 可得， \triangle D O P^{\prime}≌ \triangle D O P，\triangle E O P^{\prime \prime}≌ \triangle E O P^{\prime}$

$∴\angle P O D= \angle P^{\prime}\ \mathrm {O} D， \angle E O P^{\prime \prime}=\angle E O P^{\prime}$

$∴\angle P O P^{\prime \prime}=\angle P^{\prime}\ \mathrm {O} P^{\prime \prime}- \angle P O P^{\prime}=2α$

$如图，当点 P 在 \angle A O B 的边上时$

$同 (1) 可得 \triangle E O P^{\prime \prime}≌\triangle E O P$

$∴\angle P O P^{\prime \prime}=2α$

$解：(3)连接P_{1}A、P_{1}D、P_{1}B、P_{2}C、P_{2}D和P_{2}B$

$根据题意得 ∠AP_{1}D=∠AP_{1}B，∠DP_{1}C=∠BP_{1}C$

$∴∠AP_{1}B+∠BP_{1}C=180°$

$∴P_{1} 在AC上，同理，P_{2}也在AC上$

$在△DP_{1}P_{2} 和△BP_{1}P_{2} 中$

$\begin{cases}∠DP_{2}P_{1}=∠BP_{2}P_{1}\\P_{1}P_{2}=P_{1}P_{2}\\∠DP_{1}P_{2}=∠BP_{1}P_{2}\end{cases}$

$∴△DP_{1}P_{2}≌△BP_{1}P_{2}(\mathrm {ASA})$

$∴DP_{1}=BP_{1}，DP_{2}=BP_{2}$

$于是点B、D关于AC对称$

$设P是P_{1}P_{2}上任一点，连接PD、PB$

$由对称性，得∠DPA=∠BPA，$

$∠DPC=∠BPC$

$∴点P 是四边形ABCD的半等角点，$

$即线段P_{1}P_{2}上任一点都是四边形ABCD$

$的半等角点$