第47页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

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解：如图所示，点P即为山庄的位置

$解：(1) 点 O^{\prime} 在 \angle A 的平分线上，理由如下：$

$如图，过点 O^{\prime} 作 O^{\prime}\ \mathrm {F} \perp A D 于点 F$

$作 O^{\prime}\ \mathrm {G} \perp B C 于点 G，$

$作 O^{\prime}\ \mathrm {H} \perp A E 于点 H\ $

$∵O^{\prime} 是 \angle A B C 、 \angle A C B 外角$

$的平分线的交点$

$∴O^{\prime}\ \mathrm {F}=O^{\prime}\ \mathrm {G}，O^{\prime}\ \mathrm {G}=O^{\prime}\ \mathrm {H}$

$∴O^{\prime}\ \mathrm {F}=O^{\prime}\ \mathrm {G}=O^{\prime}\ \mathrm {H}$

$∴点 O^{\prime} 在 \angle A 的平分线上$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

（更多请点击查看作业精灵详解）

$证明：(2)∵O 是 \angle A B C 、 \angle A C B 的平分线的交点$

$∴\angle O B C= \frac{1}{2} \angle A B C$

$∵O^{\prime} 是 \angle A B C 、 \angle A C B 外角的平分线的交点$

$∴\angle C B O^{\prime}=\frac{1}{2} \angle C B D\ $

$∵\angle A B C+\angle C B D=180°$

$∴\angle O B C+ \angle C B O^{\prime}=\frac{1}{2} ×180°=90°\ $

$同理可得 \angle O C B+\angle B C O^{\prime}=90°\ $

$在四边形 O B O^{\prime}\ \mathrm {C} 中$

$∵\angle O B O^{\prime}+\angle B O C+\angle O C O^{\prime}+\angle B O^{\prime}\ \mathrm {C}$

$= \angle O B C+\angle B O C+\angle O C B+\angle B C O^{\prime}+\angle C O^{\prime}\ \mathrm {B}+\angle O^{\prime}\ \mathrm {B} C=360°，$

$∴\angle B O C+\angle B O^{\prime}\ \mathrm {C}=360°-(\angle O B C+\angle C B O^{\prime})-(\angle O C B+ \angle B C O^{\prime})=180°\ $

$证明：\ (1) 过点 C 作 C F \perp A D ，垂足为 F$

$∵A C 平分 \angle M A N， C E \perp A B， C F \perp A D$

$∴C E=C F$

$∵\angle C B E+\angle A D C= 180°， \angle C D F+\angle A D C=180°$

$∴\angle C B E=\angle C D F\ $

$在 \triangle B C E 和 \triangle D C F 中$

$\begin{cases}{\angle C B E=\angle C D F}\\{\angle C E B=\angle C F D=90°}\\{C E=C F}\end{cases}$

$∴\triangle B C E≌ \triangle D C F (\mathrm {AAS})$

$∴B C=D C\ $

$解：(2)\ \mathrm {A} D-A B=2\ \mathrm {B} E ，理由如下：$

$\ 过点 C 作 C F \perp A D ，垂足为 F$

$∵A C 平分 \angle M A N， C E \perp A B， C F \perp A D$

$∴C E=C F ， A E=A F$

$∵\angle A B C+\angle A D C=180°， \angle A B C+\angle C B E=180°\ $

$∴\angle C D F=\angle C B E\ $

$在 \triangle B C E 和 \triangle D C F 中$

$\begin{cases}{\angle C B E=\angle C D F}\\{ \angle C E B=\angle C F D=90°}\\{C E=C F}\end{cases}$

$∴\triangle B C E≌ \triangle D C F(\mathrm{AAS})$

$∴D F= B E\ $

$∴A D=A F+D F=A E+D F$

$=A B+B E+D F=A B+2\ \mathrm {B} E$

$∴A D- A B=2\ \mathrm {B} E\ $

$解：(3) 在 B D 上截取 B H=B G ，连接 O H\ $

$∵B H=B G ， \angle O B H=\angle O B G， O B=O B$

$∴\triangle O B H ≌ \triangle O B G (SAS )$

$∴\angle O H B=\angle O G B\ $

$∵A O 是 \angle M A N 的平分线， B O 是 \angle A B D 的平分线$

$∴点 O 到 A D 、 A B 、 B D 的距离相等$

$∴\angle O D H= \angle O D F\ $

$∵\angle O H B=\angle O D H+\angle D O H$

$\angle O G B=\angle O D F+ \angle D A B$

$∴\angle D O H=\angle D A B=60°$

$∴\angle G O H=120°\ $

$∴\angle B O G=\angle B O H=60°$

$∴\angle D O F=\angle B O G=60°\ $

$∴\angle D O H=\angle D O F$

$\text {在 } \triangle O D H \text { 和 } \triangle O D F \text { 中}$

$\begin{cases}{\angle D O H=\angle D O F}\\{O D=O D}\\{\angle O D H=\angle O D F}\end{cases}$

$∴\triangle O D H≌\triangle O D F(\mathrm{ASA})$

$∴D H=D F$

$∴D B=D H+B H= D F+B G=2+1=3$