第59页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

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$证明：(2) 延长 C E 与 BA 的延长线交于点 F$

$∵\angle A B C= 45°，A B=A C，∴\angle BA C=90°$

$∵CE \perp B D，∴\angle BA C=\angle D E C $

$∵\angle A D B=\angle C D E，∴\angle A B D=\angle D C E$

$在 \triangle BA D 和 \triangle CA F 中$

$\begin{cases}{\angle BA D=\angle CA F}\\{A B=A C}\\{ \angle A B D=\angle A C F}\end{cases}$

$∴\triangle BA D ≌ \triangle CA F(\mathrm {ASA})，∴B D=C F$

$∵B D 平分 \angle A B C，C E \perp D B，∴\angle F B E=\angle C B E $

$在 \triangle B E F 和 \triangle B E C 中$

$ \begin{cases}{\angle F B E=\angle C B E}\\{B E=B E}\\{\angle B E F=\angle B E C}\end{cases}$

$∴\triangle B E F ≌\triangle B E C(\mathrm {ASA})$

$∴C E=E F，∴B D=2CE $

$ (3)\ \mathrm {S}_{\triangle A C E}=\frac {1}{8}m$

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$解：(截长法) 在 C D 上取点 E，使 D E=B D$

$连接 A E$

$则 C E=A B=A E$

$∴\angle B=\angle A E D=\angle C+\angle CA E=2 \angle C\ $

$∵\angle BA C= 120°$

$∴\angle B+\angle C=2 \angle C+\angle C=60°$

$∴\angle C=20°\ $

$方法2 ∶ (补短法) 延长DB至点 F，使 BF=AB\ $

$连接 A F$

$则AB+B D=D F=C D$

$∴A F=A C，\angle C=\angle F=\frac{1}{2} \angle A B C$

$∵\angle BA C=120°$

$∴\angle A B C+\angle C=\angle A B C+\frac{1}{2} \angle A B C=60°$

$∴\angle A B C=40°$

$∴\angle C=20°\ $

$证明：在 B C 的延长线上截取 C H=A C$

$在 B C 上截取 C E= CA $

$∵B C=2AC，∴B E=C E=A C $

$∵A C=C H，∴\angle H=\angle CA H$

$∴\angle A C B=\angle H+\angle CA H=2 \angle H$

$且 \angle A C B=2 \angle B$

$∴\angle H= \angle B，∴A H=A B $

$又 H C=B E$

$在 \triangle A H C 和 \triangle A B E 中$

$\begin{cases}{H C=B E}\\{\angle H= \angle B}\\{A H=A B}\end{cases}$

$∴\triangle A H C ≌\triangle A B E (\mathrm {SAS}) $

$∴A E= A C，∴A E=A C=C E$

$∴\triangle A C E 是等边三角形$

$∴\angle A C B=60°$

$∴\angle B=30°，∴\angle BA C=90° $