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AB+BD=DE
$证明：连接DE$
$∵MN是线段AD的垂直平分线$
$∴CA=CD，EA= ED$
$在△BDE中，DB\lt ED+ BE$
$即AC+ BC\lt AE+ BE$

$\ 证明：连接AF$
$∵DF 是线段AB的垂直平分线$
$∴AF= BF$
$同理可得AF= FC$
$∴BF=FC$

$证明：连接AE，CE$
$∵AC，BD的垂直平分线相交于点E$
$∴AE=CE，BE=DE$
$在△ABE和△CDE中$
$\begin{cases}{AB=CD }\\{AE=CE}\\ {BE=DE} \end{cases}$
$∴△ABE≌△CDE(\mathrm {SSS})$
$∴∠ABE=∠CDE$
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