$解：(1)△ABC 是直角三角形.$ $理由如下:$ $因为 △ABC的三边长分别是a,b,c,$ $且a=n²-1，b=2n，c=n²+1，$ $所以a²+b²=(n²-1)²+(2n)²=n⁴-2n²+1+4n²=(n²+1)²,$ $c²=(n²+1)²,$ $即 a²+b²=c²,\ $ $所以∠C=90°,△ABC是直角三角形.$
$解：(2)因为以b为直径的半圆面积为2π，$ $则\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=2π，$ $解得b=4.$ $又b=2n，$ $所以2n=4，$ $解得n=2.$ $又a=n²-1，$ $所以a=3.$ $由(1)得∠C=90°,$ $所以△ABC 的面积为\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×4=6.$
$解：(3)因为以a,b为直径的半圆面积分别为p，q，$ $所以 p=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{πa^2}{8},$ $q=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{πb^2}{8}.$ $由(1)得a²+b²=c²，$ $所以以c为直径的半圆面积为$ $\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{πc^2}{8}=\frac{π}{8}(a²+b²)=\frac{πa^2}{8}+\frac{πb^2}{8}=p+q.$
$证明：(1)因为∠ACB=90°,CD⊥AB，$ $所以S_{△ABC}= \frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}AB·CD.$ $因为AC=b,BC=a,AB=c,CD=h,$ $所以ab=ch，$ $即 a²b²=c²h².$ $在Rt△ABC 中,由勾股定理得，$ $AC²+BC²=AB²,$ $所以a²+b²=c²,$ $即a²b²=(a²+b²)h².$ $所以\frac{a²+b²}{a²b²}=\frac{1}{h²}，$ $即\frac{a²}{a²b²}+\frac{b²}{a²b²}=\frac{1}{h²}.$ $所以\frac{1}{a²}+\frac{1}{b²}=\frac{1}{h²}.$
$证明：(2)由(1)得a²+b²=c²，ab=ch，$ $所以a²+ b²＜c²+h².$ $所以a²+b²+2ab＜c²+h²+2ch,$ $即(a+b)²＜(c+h)².$ $又a+b＞0，c+h＞0，$ $所以a+b＜c+h.$
$解：(3)以a+b，h，c+h为三边长的三角形是直角三角形.$ $理由如下:$ $由(1)得a²+b²=c²，ab=ch,$ $所以h²+(a+b)²$ $=h²+a²+2ab+b²$ $=h²+2ch+c²$ $=(c+h)².$ $所以根据勾股定理的逆定理可知，$ $以a+b，h，c+h为三边长的三角形是直角三角形.$
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