第2页 - 亮点给力提优课时作业本八年级数学江苏版

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38°

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$解：因为∠APC = 90°, ∠APC + ∠CPD + ∠APB= 180°,$

$所以∠APB +∠CPD =180°-∠APC=90°.$

$又因为∠CDP=∠PBA=90°,所以∠PCD+∠CPD=90°，即∠PCD=∠APB.$

$又因为DC=BP,所以△CPD≌△PAB(\mathrm {ASA}).$

$所以 PD=AB，$

$因为 DB=36\ \mathrm {m}，PB=10\ \mathrm {m}，所以AB=PD=DB-PB=26\ \mathrm {m}.$

$则楼高AB是26\ \mathrm {m}.$

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$证明：(1)如图①，$

$因为AB⊥AD，BC⊥CD，$

$所以 ∠BAE=∠C=90°.$

$因为∠ABC=120°,BA=BC，$

$所以将△BCF绕点B逆时针旋转120°得到△BAG(点 C 与点A 重合)，$

$则△BAG≌△BCF.\ $

$所以∠ABG=∠CBF,AG=CF,BG=BF,∠BAG=∠C=90°.$

$所以∠BAG+∠BAE=180°，$

$即 G,A,E 三点共线.$

$所以EG=AE+AG，$

$即 EG =AE+CF, 又∠MBN=60°,∠ABE+∠MBN+∠CBF=∠ABC,$

$所以∠ABE+∠CBF=∠ABC- ∠MBN=60°，$

$即∠ABE+∠ABG=60°.$

$所以∠EBG=60°，$

$即∠EBF=∠EBG,$

$在△BEF和△BEG 中，$

$\begin{cases}{BF=BG，}\\{∠EBF=∠EBG,}\\{BE=BE,}\end{cases}$

$所以△BEF≌ △BEG(\mathrm {SAS}).$

$所以 EF=EG.$

$所以 AE+CF=EF. $

$解：(2)在题图②中，上述结论成立.$

$证明如下:如图②,延长 FC 至点 H，使CH=AE，连接BH.$

$因为 AB⊥AD,BC⊥CD，$

$所以∠A=∠BCH = 90°.$

$在△BCH 和 △BAE 中，$

$\begin{cases}{BC=BA，\ }\\{∠BCH=∠A,}\\{CH=AE，}\end{cases}$

$所以△BCH≌△BAE(\mathrm {SAS}).$

$所以 BH = BE，∠CBH = ∠ABE.\ $

$因为∠ABC=120°,∠MBN=60°, $

$所以∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠MBN=60°.$

$所以∠HBF=∠CBH+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°.$

$所以∠HBF=∠EBF.$

$在△HBF和△EBF中，$

$\begin{cases}{BH=BE，\ }\\{∠HBF=∠EBF,}\\{BF=BF，}\end{cases}$

$所以△HBF≌△EBF(\mathrm {SAS}).$

$所以HF=EF.$

$因为HF=CH+CF=AE+CF,$

$所以EF=AE+CF，$

$即上述结论成立;$

$在题图③中，上述结论不成立，$

$新的数量关系为AE=EF+CF.$

$证明如下:$

$如图③,在AE上截取AQ=CF,连接BQ.$

$因为AB⊥AD,BC⊥CD,$

$所以∠A=∠BCF=90°.\ $

$在△BCF和 △BAQ中,$

$\begin{cases}{BC=BA,}\\{∠BCF=∠A，}\\{CF=AQ，}\end{cases}$

$所以△BCF≌△BAQ (\mathrm {SAS}).$

$所以BF=BQ，∠CBF=∠ABQ.$

$因为∠MBN=∠CBF+∠CBE,∠MBN=60°,$

$所以∠ABQ+∠CBE=60°.$

$因为∠ABC=120°,$

$所以∠EBQ=∠ABC-(∠ABQ+∠CBE)= 60°.$

$所以∠EBF=∠EBQ.$

$在△FBE 和△QBE中,$

$\begin{cases}{BF=BQ,\ }\\{∠EBF=∠EBQ,}\\{BE=BE,\ }\end{cases}$

$所以△FBE≌△QBE(\mathrm {SAS}).$

$所以 EF=EQ，$

$因为AE=EQ+AQ,$

$所以AE=EF+CF.$