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35°
40°或140°
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$证明：(1)因为△ABC是等边三角形，AD⊥BC，$
$所以BC=2BD，∠C=60°.$
$又因为EF⊥AC，$
$所以∠CFE=90°.$
$所以∠CEF=90°-∠C=30°.$
$所以CE=2CF.$
$又因为BC=BE+CE，$
$所以2BD=2CF+BE.（更多请点击查看作业精灵详解）$
$解：(2)由题意得∠AQF=90°.$
$因为△ABC是等 边三角形，$
$且AB=4，$
$所以BC=AC=AB=4， ∠BAC=∠B=∠C=60°.$
$所以∠AFQ=90°-∠BAC=30°.$
$所以AF=2AQ.$
$同理得，CE=2CF,BP=2BE.$
$设AQ=x，则AF=2x.$
$所以CF=AC-AF=4-2x.$
$所以CE=2CF=8-4x.$
$所以 BE=BC-CE=4x-4.$
$所以BP=2BE=8x-8.$
$当点 P 在点Q 的下方时，$
$如图①.$

$此时,AB=BP+PQ+AQ，且 PQ=1，$
$所以8x-8+1+x=4，$
$解得x=\frac{11}{9}.$
$所以BP=8x-8=\frac{16}{9};$
$当点P在点Q的上方时，$
$如图②.$

$此时，AB=BP+AQ-PQ，$
$所以8x-8+x-1=4，$
$解得x=\frac{13}{9}.$
$所以 BP=8x-8=\frac{32}{9}.$
$综上，BP的长为\frac{16}{9}或\frac{32}{9}.$
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