$解：(1)如图①，构造Rt△ABC和Rt△DEF，$ $使直角边BC和EF在同一条直线上，$ $B,E两点重合,且AC=3,DF=2,CB=x,EF=12-x，$ $则CF=CB+EF=12.$ $由“两点之间线段最短”,得AB+BD 的最小值即为AD的长.$ $过点 D作 DG⊥AC，交AC的延长线于点G.$ $在Rt△ADG中，AG=3+2=5,GD=CF=12，$ $由勾股定理得 AD=\sqrt{AG²+GD²}=13.$ $所以\sqrt{x²+3²}+\sqrt{(12-x)²+2²}的最小值是13.$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$解：(1)如图①，过点E作EF⊥AB于点F,$ $点F即为所作.理由如下:$ $因为E为等边三角形ABC的高AD上一$ $定点，$ $所以∠BAD =\frac{1}{2}∠BAC=30°.$ $又因为EF⊥AB，$ $所以EF=\frac{1}{2}AE.$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$解：(2)过点 M作MN⊥AB于点N,连接CN.$ $同(1)得MN=\frac{1}{2}AM.$ $所以\frac{1}{2}AM+MC=MN+MC≥CN，$ $即当 C,M,N 三点共线，且CN⊥AB时，$ $\frac{1}{2}AM+MC的值最小，$ $最小值为NC的长，$ $因为△ABC是边长为2的等边三角形，$ $所以AB=2,∠DAC=∠ACN=30°.$ $所以AM=MC,AN=\frac{1}{2}\ \mathrm {AB}=1.$ $在 Rt△AMN中，由勾股定理得，\ $ $MN²+AN²=AM²，$ $即\frac{1}{4}AM²+1²=AM².\ $ $所以 AM²=\frac{4}{3}.\ $ $所以AM²+MC²=2AM²=\frac{8}{3}.$
$解：(3)如图②，作∠CAN=30°，$ $过点B 作BD⊥ AC于点D，$ $作BF⊥AN 于点F，交AC于点M.$ $因为同样的物资在公路上每千米的运费是铁路上的2倍，$ $要使通过铁路由A到M再通过公路由 M到B 的总运费达到最小值，$ $就是使\frac{1}{2}AM+BM取最小值.$ $同(2)得，\frac{1}{2}AM+BM取最小值时，$ $B,M,F三点共线，且BF⊥AN.$ $在Rt△ABD中，∠BAC=30°,BD²=3，$ $所以AB=2BD.$ $由勾股定理得，$ $BD²+AD²=AB²,$ $即BD²+AD²=4BD²,$ $所以AD=3\ \mathrm {km}.$ $又因为∠BMD + ∠MBD + ∠BDM = 180°,$ $∠MAF+∠AMF+∠AFM=180°,$ $∠BDM=∠AFM=90°,$ $∠BMD=∠AMF,∠MAF=30°,$ $所以∠MBD=∠MAF=30°.$ $所以BM= 2MD.$ $在Rt△MBD中，由勾股定理得，$ $MD²+BD²=BM²,$ $即MD²+3=4MD²,$ $所以MD=1\ \mathrm {\ \mathrm {km}}.$ $所以AM=AD-MD=2\ \mathrm {\ \mathrm {km}}. $
$解：(2)如图②，构造△ABC，$ $过点C作CD⊥AB于点D，$ $且AC=3,BC=4,CD=x，$ $在Rt△ACD中，由勾股定理得，$ $AD = \sqrt{AC²-CD²}=\sqrt{9-x²}.$ $同理得，BD= \sqrt{16-x²}.$ $所以AB=\sqrt{9-x²}+\sqrt{16-x²}.$ $又 \sqrt{9-x²}+\sqrt{16-x²}=5,$ $所以 AB=5.\ $ $又因为AC²+BC²=AB²,$ $所以∠ACB =90°.\ $ $所以 S_{△ABC} =\frac{1}{2}AC·BC =\frac{1}{2}AB·CD.$ $所以 CD=\frac{AC·BC}{AB}=2.4.$ $所以x²=2.4².$ $则方程 \sqrt{9-x²}+ \sqrt{16-x²}=5的解为x=±2.4.$
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