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$ 解:易求,AC=\sqrt {AB^{2}+BC^{2}}=5$
$∵AC^{2}+AD^{2}=CD^{2}$
$∴∠DAC=90°$
$∵E为Rt△ADC斜边上的中点$
$∴AE=\frac {1}{2}CD=\frac {13}{2}$
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$解:设BN=x,则MN=AB-AM-BN=25-x$
$①当MN为最大线段时,有MN^{2}=AM^{2}+BN^{2},解得x=12$
$②当BN为最大线段时,有BN^{2}=AM^{2}+MN^{2},解得x=13$
$综上,BN=12或13$

$解:延长AP至格点C并连接BC.设小正方形边长为1$
$如图不难求出,AP=PC=BC=\sqrt {1^{2}+2^{2}}=\sqrt {5}$
$PB=\sqrt {1^{2}+3^{2}}=\sqrt {10}$
$∵PC^{2}+BC^{2}=PB^{2}$
$∴∠BCP=90°$
$∴△PCB为等腰直角三角形,∠CPB=∠CBP=45°$
$∴∠PAB+∠PBA=∠CPB=45°$
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$解:是.理由如下:$
$∵AM^{2}+BN^{2}=MN^{2}$
$∴以AM,MN,NB为边的三角形是直角三角形$
$∴M,N是线段AB的勾股分割点$
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