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$ 解:由题,\begin{cases}{ 2a-b+2b-1=0 }\ \\ { 5+a=-a+b } \end{cases}解得\begin{cases}{ a=-1 }\ \\ { b=3 } \end{cases}$

$∴(4a+b)^{2023}=[4×(-1)+3]^{2023}=-1$

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(1,3)

$解:(1)B_{1}(-2,-1)$

$(2)C_{2}(1,1)$

$解:(2)A_{4n}(2n,0)$

$(3)由图不难发现,A_{4n}到A_{4n+1}(n为正整数)的方向向上$

$∴A_{100}到A_{101}的方向向上$

$解:①若点P移动了$

$则b≠-1,P'(a-b+1,b)$

$由题有\begin{cases}{ a+2=b }\ \\ { a-b+1=-b } \end{cases}$

$或\begin{cases}{ a+2=-b }\ \\ { a-b+1=b } \end{cases} $

$解得\begin{cases}{ a=-1 }\ \\ {\ b=1} \end{cases}或\begin{cases}{ a=-\frac {5}{3} }\ \\ { b=-\frac {1}{3} } \end{cases}$

$∴P(1,1)或(\frac {1}{3},-\frac {1}{3})$

$②当P没有移动时,b=-1$

$∴a+2=±1$

$∴P(-1,-1)或(1,-1)$

$综上,P(-1,-1)或(1,-1)或(1,1)或(\frac {1}{3},-\frac {1}{3})$