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A
22.5°
$ \sqrt{5}$
$\frac {13}{2}$
$\sqrt{37}$

$(1)证明：∵四边形ABCD为$
$正方形$
$∴AB=AD=CD$
$∠BAD=∠ADC=90°$
$∵△ADE为正三角形$
$∴AE=AD=DE$
$∠EAD=∠EDA=60°$
$∴∠BAE=∠CDE=150°$
$在△BAE和△CDE中$
${{\begin{cases} {{AB=CD}}\\ {∠BAE=∠CDE}\\ {AE=DE} \end{cases}}}$
$∴△BAE≌△CDE(SAS)$
$∴BE=CE$
$(2)∵AB=AD，AD=AE$
$∴AB=AE$
$∴∠ABE=∠AEB$
$又∵∠BAE=150°$
$∴∠ABE=∠AEB=15°$
$同理：∠CED=15°$
$∴∠BEC=60°-15°×2=30°$
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