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50°
25°
75°
∠ACB=2∠BAC
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解:因为 ${\widehat{AC }}$为36° , 
所以∠AQC=18°
因为AQ//CD
所以∠AQC=.∠DCQ=18°
因为 ${\widehat{BQ }}=2{\widehat{DQ }}$
所以∠BAQ= 2∠DCQ=36°
又因为AQ//CD
所以∠P=∠BAQ=36°

证明：PA=PB+PC，理由如下：
延长BP至E，使PE=PC，连接CE

∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠ACB=∠ABC=60°
∵∠APC=∠ABC，∠APB=∠ACB
∴∠APB=∠APC=60°
∴∠CPE=60°
∵PE=PC
∴△PCE是等边三角形
∴∠PCE=∠ACB=60°
∴∠PCE+∠BCP=∠ACB+∠BCP
即∠ACP=∠BCE
在△APC和△BEC中
$\begin{cases}PC=CE\\∠ACP=∠BCE\\AC=BC\end{cases}$
∴△APC≌△BEC(SAS)
∴AP=BE
即PA=BP+PE=BP+PC
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