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$解：设甲工程队每天掘进x m，则乙工程队每天掘进(x-2)m。$
$由题意，得3x+(x-2)= 26，$
$解得x=7，则x-2=5，$
$\frac{146-26}{7+5}=10(天).$
$所以甲、乙两个工程队还需联合工作10天。$
$解：(1)①由题意，得AP=2t.$
$因为AB=24，所以BP=AB- AP=24- 2t.$
$因为M为AP的中点，$
$所以AM=\frac{1}{2}AP=t.$
$因为BP= 2AM，所以24-2t=2t，$
$解得t=6$
$故当t=6时，BP=2AM$
$②因为AM=t，所以BM=AB-AM =24-t$
$因为BP=24-2t ，$
$所以2BM- BP =2(24-t)-(24-2t)=24$
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$解：(2)当点P在线段AB的延长线上运动时，$
$BP=AP-AB=2t-24 $
$因为N为BP的中点，$
$所以PN=\frac{1}{2}BP=t-12$
$因为PM=\frac{1}{2}AP=t，$
$所以MN= PM- PN=t-(t-12)=12$
$故线段MN的长度不变，且其值为12 $
$解：(3)由题意，得AP=2t，AM=t.$
$将线段AB所在直线看作数轴，设点A表示的数$
$是0，点B表示的数是24，则点M表示的数是t，$
$点P表示的数是2t。 $
$因为N为BP的中点，所以点N表示的数是：$
$\frac{2t+24}{2}=t+12$
$分类讨论如下：$
$①若M为NB的中点，$
$则2t=t+ 12+ 24，解得t=36；$
$②若N为MB的中点，$
$则2(t+12)=t+ 24，$
$解得t=0，不合题意，舍去；$
$③若B为MN的中点， $
$则2×24=t+12+t，解得t=18$
$综上所述，存在满足题意的t，且t的值为18或36. $
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