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$解：如图所示，面积为4+4\sqrt{2}. $

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$证明：(1)连接OD$

$因为OB=OD$
$所以∠OBD=∠ODB$
$因为AB=AC$
$所以∠OBD=∠C$
$所以∠ODB=∠C$
$所以OD//AC$
$所以∠ODP=∠AEP$
$因为DE⊥AC$
$所以∠AEP=90°$
$所以∠ODP=90°$
$所以OD⊥PE$
$因为OD为圆O的半径$
$所以直线PE为圆O的切线. $
$(2)因为∠ODP=90°$
$又因为∠P=30°$
$所以OD=\frac {1}{2}OP$
$因为圆O的半径为6$
$所以OD=OA=OB=6$
$所以OP=2OD=12，$
$AB=OB+OA=12$
$所以AP=OP+OA=18$
$因为∠P=30°，∠AEP=90°$
$所以AE=\frac {1}{2}AP=9$
$因为AB=AC$
$所以AC=12$
$所以CE=AC-AE=12-9=3.$
$证明：(1)因为点A平分\widehat{BE}$
$所以\widehat{AB}=\widehat{AE}$
$所以∠C=∠ABE$
$因为BC是圆O的直径$
$所以∠BAC=90°$
$所以∠C+∠ABC=90°$
$因为AD⊥BC$
$所以∠ADB=90°$
$所以∠BAD+∠ABC=90°$
$所以∠C=∠BAD$
$所以∠ABE=∠BAD$
$所以FA=FB.$
$(2)连接AO. EO， EC，作EH⊥BC于H$

$因为BD= DO=2， AD⊥BO，$
$所以AB= AO.$
$又因为BO= AO，$
$所以AB= BO= AO= 4，$
$所以△AOB是等边三角形，$
$所以∠AOB= 60° .$
$因为弧AE =弧AB，$
$所以∠AOE=∠AOB = 60°，$
$所以∠EOC=180°-60°- 60° =60° .$
$因为OB= OE.$
$所以∠OBE = ∠OEB .$
$又因为∠OBE+∠OEB=∠EOC = 60°，$
$所以∠OBE= ∠OEB= 30° .$
$因为OE=OC， ∠EOC=60°，$
$所以△EOC是等边三角形，$
$所以OH=\frac {1}{2}OC= 2，$
$所以EH=\sqrt{4²-2²}=2\sqrt{3}.$
$所以S_{阴影部分}=\frac {1}{2}×4×2\sqrt{3}+\frac {1}{6}π×4²$
$=4\sqrt{3}+\frac {8π}{3} $
$证明：(1)连接OD$

$因为OB=OD$
$所以∠OBD=∠ODB$
$因为AB=AC$
$所以∠OBD=∠C$
$所以∠ODB=∠C$
$所以OD//AC$
$所以∠ODP=∠AEP$
$因为DE⊥AC$
$所以∠AEP=90°$
$所以∠ODP=90°$
$所以OD⊥PE$
$因为OD为圆O的半径$
$所以直线PE为圆O的切线.$
$(2)因为∠ODP=90°$
$又因为∠P=30°$
$所以OD=\frac {1}{2}OP$
$因为圆O的半径为6$
$所以OD=OA=OB=6$
$所以OP=2OD=12，$
$AB=OB+OA=12$
$所以AP=OP+OA=18$
$因为∠P=30°，∠AEP=90°$
$所以AE=\frac {1}{2}AP=9$
$因为AB=AC$
$所以AC=12$
$所以CE=AC-AE=12-9=3. $
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