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$ 证明： \because 四边形 A B C D 是 \odot O 的内接四边形， $
$ \therefore \angle A D C+\angle B=180^{\circ} . $
$ \because A B / / C D， $
$ \therefore \angle A D C+\angle A=180^{\circ} . $
$ \therefore \angle A=\angle B ..$
$ \therefore \triangle A B E 是等腰三角形 。$



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$解：(1) \because A B=A C，$
$\therefore \angle B=\angle A C B .$
$\because 四边形 A F D C 是圆的内接四边形，$
$\therefore ∠AFD+\angle A C B=\angle B F D+\angle A F D=180^{\circ} .$
$\therefore \angle B F D=\angle A C B .$
$\therefore \angle B F D=\angle B .$
$\therefore B D=D F .\therefore \triangle B D F 是等腰三角形$
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$证明：(1)连接AE，BF，如图，$

$∵AB是直径，$
$∴∠AEB=90°，$
$∵AB=AC，$
$∴∠ABC=∠C，BE=CE．$
$∵AE//BC，$
$∴∠AEC=∠EAF=90°，$
$∴∠FAE=∠BFA=∠BEA=90°， $
$∴四边形FAEB是矩形，$
$∴FA=BE=CE，$
$∵AF//CE，$
$∴四边形ACEF是平行四边形.$
$(2)∵四边形AEBF是圆内接四边形，$
$∴∠AFE+∠ADE=180°， $
$∵∠CDE+∠ADE=180°，$
$∴∠CDE=∠AFE，$
$∵EF//AC，$
$∴∠FED=∠CDE，$
$∴∠FED=∠AFE，$
$∵AF//BC，$
$∴∠FEB=∠AFE，$
$∴∠BEF=∠FED，∴EF平分∠BED．$
$证明：连接 B D .$

$\because 点 D 是 \widehat{B C} 的中点，\therefore \widehat{D B}=\widehat{D C}\ $
$\therefore \angle D B C=\angle D C B， D B=D C.$
$又 ∵∠DAF+∠DAC=180°，$
$\angle D A C=\angle D B C， $
$\therefore \angle D A F+\angle D C B=180^{\circ}$
$\because 四边形 A B C D 是 \odot O 的内接四边形，$
$\therefore \angle D A B+\angle D C B=180^{\circ} .$
$\therefore \angle D A F=\angle D A B.$
$在 \triangle D A F 和 \triangle D A B 中，$
$\begin{cases}{AF=AB }\\{∠DAF=∠DAB} \\ {DA=DA} \end{cases}$
$\therefore \triangle D A F \cong \triangle D A B(\mathrm {SAS}) .$
$\therefore D F=D B.$
$又 \because D B=D C，$
$\therefore D F=D C.$
$又 \because D E \perp A C，$
$\therefore E F=E C， 即点 E 是 F C 的中点 $
$(2) 如题图， A B=D E， \angle B=\angle A E D，\ $
$则四边形 A B D E 是平行四边形是假命题.$
$\because \widehat{D E}=\widehat{A C}，\therefore D E=A C.$
$\because A B=A C，$
$\therefore A B=D E .$
$\because A B=A C，$
$\therefore \angle B=\angle A C B .$
$\because \angle A C B=\angle A E D，$
$\therefore \angle B=\angle A E D .$
$\because \widehat{A C}=\widehat{D E}，$
$\therefore \widehat{A C}-\widehat{C E}=\widehat{D E}-\widehat{C E}，$
$即 \widehat{A E}=\widehat{C D} .$
$\therefore A E=C D\gt B D .$
$\therefore 四边形 A B D E 不是平行四边形$
$\therefore “一组对边相等， 且一组对角相等 的 $
$四边形是平行四边形” 是假命题。 $
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