第61页 - 创新优化学案九年级数学江苏版 - 05网零5网 0五网新知语文网

$ 解：因为AD⊥OB，所以∠ADO=90°$

$ 因为∠AOB=45°$

$ 所以△AOD为等腰直角三角形$

$ 所以OA=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$

$ 所以阴影部分的面积为\frac {45π×4²}{360}-\frac {1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=2π-4.$

$ 解:第一次是点 A 以 B 为旋转中心, 顺时针旋转 90^{\circ} 得到 A_{1} ,$

$ 长方形的对角线 A B 长为 \sqrt{3^{2}+4^{2}}=5 \mathrm{cm} , 此次 A 点走过的路径为 A A_{1} 弧,$

$ A A_{1}=2 \pi \times 5 \times \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{5 \pi}{2}(\mathrm{cm}) \text {, }$

$ 第二次是点 A_{1} 以 C 为旋转中心, 顺时针旋转 90^{\circ} 得到 A_{2} ,$

$ \because C A_{1} 的长为 3 \mathrm{cm}, A_{2} C 与桌面成 30^{\circ} 角,$

$ \therefore \angle A_{1} C A_{2}=60^{\circ} \text {, }\therefore 此次 A 点走过的路径为 A_{1} A_{2} 弧,$

$ A_{1} A_{2}=2 \pi \times 3 \times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\pi(\mathrm{cm}) \text {, }\therefore A 点走过的路径为 \frac{5 \pi}{2}+\pi=3.5 \pi(\mathrm{cm}) ,$

$ 证明：(1)∵AB为圆O的直径$

$∴∠ACB= 90°$

$∵CP 是半圆O的切线，$

$∴∠OCP=90°.$

$∴∠ACB=∠OCP .$

$∴∠ACO=∠BCP .$

$证明：(1)因为AD//BC，DF//AB$

$所以四边形ABED是平行四边形$

$所以∠B=∠D$

$因为∠AFC=∠B，$

$∠ACF=∠D，所以∠AFC=∠ACF$

$所以AC=AF$

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$(2)连接AO，CO$

$因为∠AFC=∠ACF$

$又∠CAF=30°$

$所以∠AFC=\frac {180°-30°}{2}=75°$

$所以∠AOC=2∠AFC=150°$

$所以\widehat{AC}的长为：$

$\frac {150×π×3}{180}=\frac {5π}{2}. $

$(2)由(1) 知∠ACO=∠BCP，$

$∴∠ABC= 2∠BCP$

$∴∠ABC=2∠ACO.$

$∵OA=OC，$

$∴∠ACO=∠A，$

$∴∠ABC=2∠A，$

$∵∠ABC+∠A=90°，$

$∴∠A=30°，∠ABC=60°，$

$∴∠ACO=∠BCP=30°，$

$∴∠P=∠ABC-∠BCP=60°- 30°=30°，$

$答：∠P 的度数是30° . $

$(3)由(2) 知∠A= 30°，$

$∵∠ACB=90°，$

$∴BC=\frac {1}{2}\ \mathrm {AB}=2，$

$AC=\sqrt {3}BC=2\sqrt {3}，$

$∴S_{△ABC}=\frac {1}{2}×BC×AC$

$=\frac {1}{2}×2×2\sqrt{3}$

$=2\sqrt{3}$

$∴阴影部分的面积是：$

$\frac {1}{2}π×(\frac {AB}{2})^2 -2\sqrt {3} =2π-2\sqrt {3}，$

$答：阴影部分的面积是2π -2\sqrt {3} . $