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C
​$ \frac {16π}{9}$​

证明：​$(1)$​连接​$OC$​
∵​$\odot O$​和底边​$AB$​相切于点​$C$​
∴​$OC⊥AB$​
∵​$OA=OB$​，​$∠AOB= 120°$​
∴​$∠AOC=∠BOC=\frac {1}{2}∠AOB=60°$​
∵​$OD =OC$​，​$OC=OE$​
∴​$△ODC$​和​$△OCE$​都是等边三角形
∴​$OD=OC=DC$​，​$OC=OE=CE$​
∴​$OD=CD=CE=OE$​
∴四边形​$ODCE$​是菱形
解：​$(2)$​连接​$DE$​交​$OC$​于点​$F$​
∵四边形​$ODCE$​是菱形
∴​$OF=\frac {1}{2}OC=1$​，
​$DE=2DF$​，​$∠OFD=90°$​
在​$Rt△ODF $​中，​$OD=2$​
∴​$DF= \sqrt {OD^2-OF^2}=\sqrt {2²-1²}=\sqrt {3}$​
∴​$DE=2DF=2\sqrt 3$​
∴​$S_{阴影}=S_{扇形ODE}-S_{菱形ODCE}$​
​$=\frac {120π×2^2}{360}-\frac 12×2×2\sqrt {3}$​
​$=\frac {4π}{3}-2\sqrt 3$​
∴图中阴影部分的面积为​$\frac {4π}{3}-2\sqrt 3$​
A
​$\frac {4-π}{4} $​
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