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信息发布者：
$解:(1)设一共去了x名成人，则去了(12-x)名学生.$
$由题意， 得35x+35×0.5(12-x)=350，$
$解得x=8，$
$则12-x=4.$
$所以 一共去了8名成人、4名学生$
$(2)如果购买团体票，按16人计算，那么共需费用为35×0.6×16=336(元)，336\lt 350，$
$所以购买团体票更省钱$
$解:(1)根据题意，得3(x+300)-4x=300，$
$解得x=600.$
$所以 x的值为600$
$(2)设甲工程队单独施工m天，则乙工程队单独施工(22-m)天.$
$根据题意，得(600+300)m+600(22-m)=15000，$
$解得m=6，$
$则22-m=16$
$所以该段时间内体育中心需要支付3600×6+2200×16=56800(元)施工费用$
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