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第24页

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$ 解：{(2x-3)}^2=4$

$ 2x-3=2或2x-3=-2$

$ ∴{x}_1=\frac 5 2，{x}_2=\frac 1 2$

$ 解：移项，得{y}^2-2y=399$

$ 配方，得{(y-1)}^2=400$

$ 两边开平方，得y-1=±20$

$ y=1±20$

$ ∴{y}_1=-19，{y}_2=21$

$ 解： a=2，b=-2\sqrt{5}，c=1$

$ b^2-4ac=12$

$ x=\frac {2\sqrt{5}±\sqrt{12}}{2×2}=\frac {2\sqrt{5}±2\sqrt{3}}4$

$ x_1=\frac {\sqrt{5}+\sqrt{3}}2，x_2=\frac {\sqrt{5}-\sqrt{3}}2$

$ 解： (2x+1+1)(2x+1+2)=0$

$ 2x+2=0或2x+3=0$

$ x_1=-1，x_2=-\frac 32$

$ 解：(1)由题意得 m+1≠0且b^2-4ac\gt 0$

$ ∴ m+1≠0且4+4(m+1)\gt 0$

$ ∴ m\gt -2且m≠-1$

$ (2) 将x=1代入方程得m+1-2-1=0$

$ ∴ m=2$

$ ∴方程为 3x^2-2x-1=0$

$ ∴x_1=1，x_2=-\frac 13$

$ ∴ m的值为2，另一个根为x=-\frac 13$

$ 解：(1)∵x_1，x_2是方程x^2-6x+k=0的两个根，$

$ ∴x_1+x_2=6，x_1x_2=k，$

$ ∵x_1^2x_2^2-x_1-x_2=115，$

$ ∴k^2-6=115，$

$ 解得k_1=11，k_2=-11，$

$ 当k_1=11时，△=36-4k=36-44＜0，$

$ ∴k_1=11不合题意$

$ 当k_2=-11时，△=36-4k=36+44＞0，$

$ ∴k_2=-11符合题意，$

$ ∴k的值为-11.$

$ (2)∵x_1+x_2=6，x_1x_2=-11$

$ ∴x_1^2+x_2^2+8=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+8=36+2×11+8=66．$

$ 证明：当k=0时，为一次方程，x+2=0，x=-2，有实数根$

$ 当k≠0时，为一元二次方程。$

$ b^2-4ac=(2k+1)^2-4k×2=4k^2+4k+1-8k=(2k-1)^2$

$ ∵ (2k-1)^2≥0$

$ ∴ b^2-4ac≥0恒成立$

$ ∴方程总有实数根$

$ 综上得：无论k取任何实数，方程总有实数根.$

-2

$ 解：(2)\sqrt{2x+3}=x$

$ 两边平方得，2x+3={x}^2$

$ {x}^2-2x-3=0$

$ 解得，{x}_1=3，{x}_2=-1$

$ 当{x}_2=-1时$

$ \because \sqrt{2x+3}=1\ne x$

$ \therefore {x}_2=-1(不合题意，舍去)$

$ \therefore 原方程的解为x=3$