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解：该四边形的对边之和相等
$证明：∵AB =BC，PB⊥AC$
$∴AP= PC$
$∴∠MPB=∠CPB$
$∵PB⊥BC，且BC为半圆的半径$
$∴PB为半圆的切线$
$又∵PN为半圆的切线$
$∴∠BPC=∠CPN$
$∴∠MPB=∠BPC=∠CPN$
$解：(1)如图所示$
$(2)R=2r，理由如下：$
$设△ABC的内切圆与AC相切于点E ，连接OE ， OC$
$∵AC是圆O的切线$
$∴OE⊥AC$
$∵△ABC是等边三角形$
$∴∠ACB = 60°$
$∴ ∠ECO=\frac 12∠ACB=30°$
$∴OC= 2OE，即R= 2r$

解：如图所示
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