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解：连接​$BE$​
∵​$DE$​是​$BC$​边上的垂直平分线
∴​$CE=BE$​
∵​$AB+AE+BE=14\ \mathrm {cm}$​，​$AC=AE+CE=8\ \mathrm {cm}$​
∴​$AB=14-8=6\ \mathrm {cm}$​
证明：如图，连接​$BC$​
∵​$CD⊥AB$​于​$D$​，​$D$​是​$AB$​的中点，即​$CD$​垂直平分​$AB$​
∴​$AC=BC($​中垂线的性质​$)$​
∵​$E$​为​$AC$​中点，​$BE⊥AC$​
∴​$BC=AB($​中垂线的性质​$)$​
∴​$AC=AB$​
证明：连接​$CD$​
∵​$D E$​垂直平分​$BC$​
∴​$DC=DB$​
在​$△ADC$​中，​$A D+D C>A C$​
∴​$A D+B D>A C$​
∴​$A B>A C$​
解：AB垂直平分CD

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证明：​$(1)$​∵点​$P $​在边​$AB$​的垂直平分线上
∴​$PA=PB$​
∵点​$P $​在边​$BC$​的垂直平分线上
∴​$PB=PC$​
∴​$PA=PB=PC$​
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