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$ 解：设这两个连续整数分别为x和x+1$
$ x^2+(x+1)^2=313$
$ 化为一般形式为2x^2+2x-312=0$
$ 解：设这个正方形纸片的边长为x\ \mathrm {cm}$
$ (x+5)(x+2)=54$
$ 化为一般形式为x^2+7x-44=0$
$ 解：设竹竿长x尺$
$ (x-4)^2+(x-2)^2=x^2$
$ 化为一般形式为x^2-12x+20=0$
$ 3x(x－1)=6210$
$化为一般形式为3x²－3x－6210=0$
$ 解：由题意可得：a²-2024a+1=0$
$ 所以a²+1=2024a，a²=2024a-1$
$ 所以原式=2024a-1-2023a+\frac {2024}{2024a}$
$ =a-1+\frac {1}{a}$
$ =\frac {a²-a+1}{a}$
$ =\frac {2024a-a}{a}$
$ =2023$
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