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解：相等，理由如下：
∵​$AB=AC$​，∴​$∠B=∠C$​
∵​$AD=AE$​，∴​$∠ADE=∠AED$​
∵​$∠ADE$​是​$△ABD$​的外角
∴​$∠ADE=∠B+∠BAD$​
∴​$∠BAD=∠ADE-∠B$​
∵​$∠AED△AEC$​的外角，∴​$∠AED=∠C+∠CAE$​
∴​$∠CAE=∠AED-∠C$​
∴​$∠BAD=∠CAE$​

证明：∵过点​$A$​作​$AE⊥BC$​于点​$E$​
∵​$AB=AC$​，​$AE⊥BC$​
∴​$CE=\frac 12BC$​
在​$△ADB$​和​$△AEC$​中
​$\begin {cases}{∠ABD=∠ACE}\\{∠ADB=∠AEC}\\{AB=AC}\end {cases}$​
∴​$△ADB≌△AEC(\mathrm {AAS})$​
∴​$BD=CE$​
∴​$BC=2CE=2BD$​

解：正确，理由如下：
在​$Rt△ADB$​与​$Rt△ADC$​中，
由勾股定理可得：​$AB^2-BD^2=AD^2$​，​$AC^2-CD^2=AD^2$​
∴​$AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$​
即​$(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD)$​
∵​$AB+BD=AC+CD$​
∴​$AB-BD=AC-CD$​
两式相加，得​$AB=AC$​
∴​$△ABC$​为等腰三角形
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