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第57页

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$解：△DEF为等边三角形$

$证明如下:\ $

$∵△ABC为等边三角形$

$∴AB=BC=CA$

$∠A=∠B=∠C=60°$

$∵AD=BE=CF$

$∴BD=CE=AF$

$∴△ADF≌△BED≌△CFE$

$∴DF=ED=EF$

$∴△DEF为等边三角形$

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$解：AD=BD+CD，理由如下:\ $

$延长BD至点E，使DE=DC,连接CE$

$∵∠BDC=120°$

$∴∠CDE=60°$

$∴△CDE是等边三角形$

$∴CD=CE,∠DCE=60°$

$∵△ABC是等边三角形$

$∴AC=BC,∠ACB=60°$

$∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD$

$即∠ACD=∠BCE$

$在△ACD和△BCE中$

${{\begin{cases}{{AC=BC}}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{cases}}} $

$∴△ACD≌△BCE(SAS)$

$∴AD=BE$

$∵BE=BD+DE$

$∴AD=BD+CD$

$10.(1)证明:如图，在AC上截取CM=CD$

$连接DM$

$∵△ABC是等边三角形$

$∴∠ACB=60°$

$∴△CDM是等边三角形\ $

$∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°$

$∴∠AMD=120°$

$∵∠ADE=60°$

$∴∠ADE=∠MDC$

$∴∠ADM=∠EDC$

$∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E\ $

$∴∠ACE=60°$

$∴∠DCE=120°=∠AMD$

$在△ADM和△EDC中$

${{\begin{cases}{{∠ADM=∠EDC}}\\{\ MD=CD}\\{∠AMD=∠ECD}\end{cases}}}$

$∴△ADM≌△EDC(ASA)$

$∴AM=EC$

$∴CA=CM+AM=CD+CE$

$10.(2)解:CA=CE-CD.理由如下:\ $

$如图，在AC边的延长线上截取CM=CD$

$连接DM$

$∵△ABC是等边三角形$

$∴∠ACB=60°$

$∴∠DCM=60°$

$∴△CDM是等边三角形\ $

$∴MD=CD=CM$

$∠CMD=∠CDM=60°$

$∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E\ $

$∴∠ACE=∠DCE=60°$

$∴∠ECD=∠AMD\ $

$∵∠ADE=60°$

$∴∠ADE=∠CDM$

$∴∠ADM=∠EDC$

$在△ADM和△EDC中$

${{\begin{cases}{{∠ADM=∠EDC}}\\{MD=CD}\\{∠AMD=∠ECD}\end{cases}}}$

$∴△ADM≌EDC(ASA)$

$∴AM=EC$

$∴CA=AM-CM=CE-CD$