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$\frac{9}{2}$

$n^{2}-1$

$2n$

$ n^{2}+1$

$(3)解:是，理由如下:$

$ ∵a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=(n^{2}+1)^{2}=c^{2}$

$ ∴以a,b,c为三边的三角形为直角三角形$

$证明：(1)∵AC⊥BD,∠CAD=45°$

$∴AC=DC,∠ACB=∠DCE=90°$

$在Rt△ABC与Rt△DEC中 $

$\begin{cases}{AC=DC}\\{\ AB=DE}\end{cases}$

$∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)$

$∴∠BAC=∠EDC$

$∵∠EDC+∠CED=90°$

$∠CED=∠AEF$

$∴∠AEF+∠BAC=90°$

$∴∠AFE=90°$

$∴DF⊥AB$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$8.(2)证明：由(1)知△ABC≌△DEC\ $

$∴CE=BC=a,DE=AB=c$

$∵S_{△BCE}+S_{△ACD}=S_{△ABD}-S_{△ABE}$

$DF⊥AB\ $

$∴\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2} \cdot c\cdot DF-\frac{1}{2}\cdot c\cdot EF$

$=\frac{1}{2}\cdot c\cdot (DF-EF)=\frac{1}{2}\cdot c\cdot DE=\frac{1}{2}c^{2}$

$∴a^{2}+b^{2}=c^{2}$