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解：​​$(1)$​​平行​​$.$​​
理由：因为​​$∠1=∠2$​​，
所以​​$AC//BD$​​，
所以​​$∠C=∠BDE.$​​
又因为​​$∠B=∠C$​​，
所以​​$∠B=∠BDE$​​，
所以​​$AB//CE.$​​
​​$(2)$​​在​​$△AEC$​​中，​​$∠1=76°$​​，​​$∠E=57°$​​，
所以​​$∠C=180°-76°-57°=47°.$​​
又因为​​$∠B=∠C$​​，
所以​​$∠B=47°.$​​
解：选择小明的方法，证明如下：
因为​​$AB//PQ$​​，
所以​​$∠APQ=∠BAP$​​，
又因为​​$∠BAP=∠PMC$​​，
所以​​$∠APQ=∠PMC$​​，
所以​​$PQ//CD$​​，
所以​​$∠CPQ=∠PCD$​​，
所以​​$∠APQ+∠CPQ=∠BAP+∠PCD.$​​
即​​$∠APC=∠BAP+∠PCD.$​​
选择小慧的方法，证明如下：
因为​​$AB//CD$​​，
所以​​$∠BAP=∠PMC.$​​
因为​​$∠PCD+∠PMC=∠APC$​​，
所以​​$∠BAP+∠PCD=∠APC.$​​
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