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$解：(1)PQ=\sqrt{(-3-2)^{2}+(-8-4)^{2}}=13$

$(2)△AOB是直角三角形，理由:\ $

$∵A(1,2),O(0,0),B(4,-2)$

$∴OA=\sqrt{(0-1)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{5}$

$OB=\sqrt{(0-4)^{2}+(0+2)^{2}}=\sqrt{20}$

$AB=\sqrt{(4-1)^{2}+(-2-2)^{2}}=5$

$∴OA^{2}+OB^{2}=5+20=25,AB^{2}=25$

$∴OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}$

$∴△ABO为直角三角形$

$(3)∵ \sqrt{x^{2}+9} = \sqrt{x^{2}+3^{2}}$

$\sqrt{(16-x)^{2}+81}=\sqrt{(16-x)^{2}+9^{2}}= \sqrt{(16-x)^{2}+(12-3)^{2}}$

$∴可设C(x,3),D(16,12),O(0,0)$

$则OC= \sqrt{x^{2}+9},CD= \sqrt{(16-x)^{2}+81}\ $

$∴ \sqrt{x^{2}+9}+ \sqrt{(16-x)^{2}+81}的最小值为OD$

$此时O,C,D在同一直线上\ $

$∴OD=\sqrt{16^{2}+12^{2}}=20$

$即\sqrt{x^{2}+9}+ \sqrt{(16-x)^{2}+81}的最小值为20$