第66页 - 新课程自主学习与测评初中数学八年级人教版

$M 17936$

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$(-a,b).$

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$M 17936$

$证明:如图，作点C关于直线EF的对称点C',$

$连接DC',AC',$

$则直线EF是线段CC'的垂直平分线\ $

$因此，DC=DC',AC= AC',∠1=∠2.$

$∵EF//BC,\ $

$∴ ∠2 = ∠ACB, ∠3 = ∠ABC.\ $

$∵ AB = AC,\ $

$∴∠ABC=∠ACB.$

$∴∠3=\ ∠2,$

$∴ ∠1=∠3.\ $

$∴ ∠3+ ∠EAC'=∠1+∠EAC'=\ 180°.$

$∴点B,A,C'在同一条直线上$

$∵ C'B＜DB+DC',C'B=2AB,$

$∴ DB+DC＞2AB.$

$证明:∵BD平分∠ABC，$

$∴∠EBD=∠CBD.\ $

$∵ED//BC,\ $

$∴ ∠EDB=∠CBD.\ $

$∴ ∠EBD=∠EDB,$

$∴EB=ED.$

$同理可证,FD=FC.$

$∵ EF=ED-FD,$

$∴ EF=EB-FC.$

$证明:如图，延长AD交BC于点E.$

$在△ABD和\ △EBD中，$

$∠ABD= ∠EBD,$

$BD=BD$

$∠ADB=∠EDB,$

$\ ∴ △ABD≌△EBD.\ $

$∴∠BAD=∠BED.\ $

$∵ ∠BED=∠DAC+∠C,\ $

$∴∠BAD=∠DAC+∠C.\ $

$证明:∵△ABC和△BDE都是等边三角形，$

$∴AB=CB,∠ABC=∠DBE =60°,BD=BE.$

$∴∠MBN=60°.\ $

$∴ ∠ABN=∠CBM=120°.\ $

$在△ABD和△CBE中$

$\begin{cases}{AB=CB\ }\\{∠ABD=∠CBE} \\ {BD=BE} \end{cases}$

$∴△ABD≌△CBE.$

$∴∠BAD=∠BCE.$

$在△ABN和△CBM中，$

$\begin{cases}{∠BAN=∠BCM\ }\\{AB=CB} \\ {∠ABN=∠CBM} \end{cases}$

$\ ∴ △ABN≌△CBM.\ $

$∴ BN=∠BM.$

$又∵∠MBN=60°,$

$∴△BMN是等边三角形$