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解：​$(1)$​选择方法一
​$45x=60(x-2)+15$​
解得​$x=7$​
​$45×7=315($​人​$)$​
∴参加此次活动的师生共有​$315$​人。
​$(2)45$​座和​$60$​座客车各租​$3$​辆时费用最少，为​$8100$​元
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解：设它升了​$x$​场，则负了​$(22-x)$​场
得​$2x+22-x=40$​
解得​$x=18$​
​$22-x=4$​
答：它胜了​$18$​场，负了​$4$​场。
解：设捐献​$7$​册图书的有​$x$​人，则捐献​$8$​册图书的有​$(9-x)$​人
得​$24+40+90+7x+8(9-x)+100=320$​
解得​$x=6$​
​$9-x=3$​
答：捐献​$7$​册图书的有​$6$​人，捐献​$8$​册图书的有​$3$​人。
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