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第75页

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\frac{1}{3}或\frac{\sqrt{2}}{4}$

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$解：(1)∵D为AC的中点$

$∴AC=2CD$

$∵BC=AC$

$∴BC=2CD$

$∵∠C=90°$

$∴在Rt△BCD中，tan∠BDC=\frac {BC}{CD}=\frac {2CD}{CD}=2$

$(2)过点D作DH⊥AB于点H，设DH=t(t＞0)$

$∵∠C=90°，BC=AC$

$∴∠A=∠ABC=45°$

$∴易知在Rt△ADH中，AH=DH=t，由勾股定理，得AD=\sqrt {{t}^2+{t}^2}=\sqrt {2}t$

$∵D为AC的中点$

$∴AC=2AD=2\sqrt {2}t$

$∴BC=AC=2\sqrt {2}t$

$∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=\sqrt {{(2\sqrt {2}t)}^2+{(2\sqrt {2}t)}^2}=4t$

$∴BH=AB-AH=3t$

$∴在Rt△BHD中，tan∠ABD=\frac {DH}{BH}=\frac t {3t}=\frac 1 3$

$解:过点O作OH⊥BC于点H,$

$则∠OHE=∠OHC=90°.\ $

$∵四边形ABCD是矩形，$

$∴∠ABC=90°,OC=\frac{1}{2}AC.$

$∵在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,$

$∴ 由勾股定理，得AC= \sqrt{AB²+BC²}$

$= \sqrt{6²+8²}=10.$

$∴OC=5.$

$∵∠CEO=∠COE,$

$∴CE=OC=5.$

$∵∠ABC=∠OHC=90°,∠OCH=∠ACB,$

$∴△ABC∽△OHC.$

$∴\frac{AB}{OH}=\frac{BC}{HC}=\frac{AC}{OC}=2.$

$∴ HC=\frac{1}{2}BC=4,$

$OH=\frac{1}{2}\ \mathrm {AB}=3.\ $

$∴ EH=CE-HC=5-4=1.\ $

$∴ 在Rt△OHE中,tan∠CEO=\frac{OH}{EH} =\frac{3}{1}=3$