$解:(3)存在$ $过点E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF=AB=2$ $∵△OCM与△ABP的面积之和等于△EMP的面积$ $∴S_{△OEA}=S_{矩形OABC}$ $∴\frac 1 2×5ED=2×5$ $∴ED=4$ $∴EF=ED-DF=2$ $∵PM//OA$ $∴△EMP∽△EOA$ $∴\frac {EF}{ED}=\frac {MP}{OA}，即\frac 2 4=\frac y 5$ $解得，y=\frac 5 2$ $由(2)知，y=x-\frac 4x$ $∴x-\frac 4x=\frac 5 2$ $解得，x_1=\frac {5+\sqrt {89}}4，x_2=\frac {5-\sqrt {89}}4(不合题意，舍去)$ $∴在点P运动的过程中，存在x=\frac {5+\sqrt {89}}4，使△OCM与△ABP的面积之和等于△EMP的面积$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$证明:(1)连接OC.$ $∵OA=OC，$ $∴∠OAC=∠OCA.$ $∵BC=CD,$ $∴∠DAC=∠BAC=\frac{1}{2}∠BAF.$ $∴∠OCA=∠DAC.$ $∴OC//AF.$ $∴∠OCE=∠F.$ $∵EH平分∠FEG，$ $∴∠FEG=2∠GEH.$ $∵∠GEH=∠H+∠BAC,∠FEG=∠F+∠BAF,$ $∴2∠H+2∠BAC=∠F+∠BAF.$ $∵∠BAF=2∠BAC,$ $∴∠F=2∠H=90°$ $∴∠OCE=90°,即OC⊥EF.$ $∵0C是⊙O的半径，$ $∴EF是⊙O的切线$
$解:(2)∵AB是⊙O的直径，$ $∴∠ACB=90°$ $∴∠OBC+∠BAC=90°$ $∵∠OCE=90°,$ $∴∠OCB+∠BCE=90°$ $∵OB=OC，$ $∴∠OBC=∠OCB.$ $∴∠BCE=∠CAE.$ $∵∠CEB=∠AEC,$ $∴△BCE∽△CAE.$ $∴\frac{BE}{CE}=\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{CA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $∴CE²=BE×AE，即16=2AE,$ $解得AE=8.$ $∴AB=8-2=6.$ $∵在Rt△ABC中，AB=6，\frac{BC}{CA}= \frac{1}{2}，$ $∴AC=\frac{12\sqrt{5}}{5}$ $∵∠F=∠ACB=90°,∠FAC= ∠CAB,$ $∴△FAC∽△CAB.$ $∴\frac{AF}{AC}=\frac{AC}{AB}$ $∴AF=\frac{AC²}{AB}=\frac{24}{5}$
$解:(1)根据题意，知$ $OA=CB=5,AB=OC=2,$ $∠B=∠OCM=90°,BC//OA.$ $若OP⊥AP,$ $则∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°$ $∴∠OPC=∠PAB.\ $ $∴△OPC∽△PAB.$ $∴ \frac{CP}{BA}=\frac{OC}{PB}，$ $即\frac{x}{2}=\frac{2}{5-x}，$ $解得x_{1}=4，x_{2}=1.$ $∵BC//OA,$ $∴ ∠CPO=∠AOP.\ $ $∵ ∠AOP=∠COM,$ $∴∠COM=∠CPO.\ $ $∵∠OCM=∠PCO,\ $ $∴ △OCM∽ △PCO.$ $∴\frac{CM}{CO}=\frac{CO}{CP}，即\frac{x-y}{2}=\frac{2}{x}.$ $∴y=x-\frac{4}{x}\ $ $当x=1时，2 y=-3＜0,$ $∴x=1不合题意，舍去.$ $∴当x=4时,OP⊥AP$
$解:(2)由(1),知y=x-\frac{4}{x}.$ $∵y＞0,$ $∴x-\frac{4}{x}＞0,易得x＞2.$ $又 ∵x＜5,$ $∴x的取值范围是2＜x＜5$
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