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第30页

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$解:(1)∵抛物线y=-x²+bx(b为常数)的顶点的横坐标为-\frac{b}{2×(-1)}=\frac{b}{2},$

$抛物线y=-x²+2x的顶点的横坐标为-\frac{2}{2×(-1)}=1，$

$∴\frac{b}{2}=1+1，$

$解得b=4$

$(2)∵点A(x_{1},y_{1})在抛物线y=-x²+2x上，点B(x_{1}+t,y_{1}+h)在抛物线y=-x²+4x上，$

$∴y_{1}=-x_{1}²+2x_{1},y_{1}+h=-(x_{1}+t)²+4(x_{1}+t).$

$∴-x_1²+2x_{1}+h=-(x_1²+t)²+4(x_{1}+t).整理，得h=-t²-2x_{1}t+2x_{1}+4t\ $

$①∵h=3t，$

$∴3t=-t²-2x_{1}t+2x_{1}+4t，即t(t+2x_{1})=t+2x_{1}，$

$∵x_{1}≥0,t＞0,∴t+2x_{1}＞0.$

$∴t=1.$

$∴h=3\ $

$②将x_{1}=t-1代入h=-t²-2x_{1}t+2x_{1}+4t,得h=-t²-2t(t-1)+2(t-1)+4t，$

$即h=-3t²+8t-2=-3(2-\frac{4}{3})²+\frac{10}{3}$

$∵-3＜0,$

$∴当t=\frac{4}{3}，即x_{1}=\frac{1}{3}时，h取最大值，为\frac{10}{3}$

$证明:(2)∵易得∠ACB=90°，$

$∴在△ACB中，∠BAC+∠ABC=90°$

$∵ ∠BAC=∠BDA,$

$∴∠EAG=∠BDA +∠ABC=90°.\ $

$由(1),得△ACB∽△DCA,$

$∴\frac{AC}{DC}=\frac{AB}{DA}$

$∴AC.DA=DC.AB.$

$∵DE.AM=AC.AD,$

$∴DE.AM=DC.AB.$

$∴\frac{AM}{DC}=\frac{AB}{DE}$

$∵∠BAC=∠BDA, 即 ∠BAM = ∠EDC,\ $

$∴ △AMB ∽△DCE.$

$∴∠ABM=∠E.$

$∵△EAG、△BNG的内角和均为 180°,∠EGA=∠BGN,$

$∴∠EAG=∠BNG=90°.$

$∴BM⊥CE$（更多请点击查看作业精灵详解）

$解:(1)∵AB是⊙O的直径，$

$∴∠ACB=90°.$

$∴∠ACB=∠DCA=90°.\ $

$∵ ∠BAC=∠ADC,$

$∴ △ACB∽△DCA.$

$∴\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{DC}，$

$即\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{BD-BC}$

$∵AC=\sqrt{6},BD=5，$

$∴\frac{BC}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{5-BC}，$

$解得BC=2或BC=3.$

$当BC=2时,DC=BD-BC=3,$

$此时与AC＞DC矛盾，舍去;$

$当BC=3时,DC=BD-BC=2,符合题意.$

$∴BC的长为3$