$解:(2)①如图①，$
$过点D作DM⊥x轴，交AC于点M，$
$过点B作BN⊥x轴，交AC于点N.$
$∴DM//BN.$
$∴△DME∽△BNE.$
$∴\frac{DM}{BN}=\frac{DE}{BE}$
$∴\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{DE}{BE}=\frac{DM}{BN}.$
$在y=-\frac{1}{2}x²-\frac{3}{2}x+2中，$
$令y=0，得-\frac{1}{2}x²-\frac{3}{2}x+2=0，$
$解得x_{1}=-4，x_{2}=1.$
$∴点B的坐标为(1,0).$
$∴易得点N的坐标为(1,\frac{5}{2}).$
$设D(a,-\frac{1}{2}a²-\frac{3}{2}a+2)(-4＜a＜O).$
$∴易得M(a,\frac{1}{2}a+2)$
$∴\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{DM}{BN}$
$=\frac{-\frac{1}{2}a²-2a}{\frac{5}{2}}$
$=-\frac{1}{5}(a+2)²+\frac{4}{5}(-4＜a＜0).$
$∴当a=-2时，\frac{S_{1}}{S_{2}}有最大值，为\frac{4}{5}\ $
$②存在\ $
$∵A(-4,0)、B(1,0)、C(0,2)，$
$∴ OA=4,OB=1,OC=2.$
$∴ \frac{OA}{OC}=2，\frac{OC}{OB}=2.$
$又∵∠AOC=∠COB=90°,$
$∴△AOC∽△COB.$
$∴∠ACO=∠ABC.$
$分三种情况讨论:$
$(\mathrm {i}) ∵tan∠BAC=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}≠1,$
$∴∠BAC≠45°.$
$\ ∴ ∠DFC≠2∠BAC.$
$(\mathrm {ii}) 当∠DCF=2∠BAC时，$
$如图②，作点C关于x轴的对称点G，$
$连接AG，则∠BAC= ∠GAB, G(0, -2).\ $
$∴ ∠CAG = 2∠BAC.$
$∴∠DCF=∠CAG.$
$∴CD∥/AG.$
$设直线AG对应的函数表达式为$
$y=kx+b'(k≠0).$
$把A(-4,0)、G(0,-2)代入,得$
$\begin{cases}{-4k+b'=0\ } \\ {b'=-2} \end{cases}$
$解得k=-\frac{1}{2},b'=-2\ $
$∴直线AG对应的函数表达式为$
$y=-\frac{1}{2}x-2.$
$易得直线CD对应的函数表达式$
$为y=-\frac{1}{2}x+2.$
$解方程-\frac{1}{2}x+2=-\frac{1}{2}x²-\frac{3}{2}x+2，$
$得x_{1}=0(不合题意，舍去)，x_{2}=-2.$
$∴点D的横坐标为-2.$
$(\mathrm {ii}) 当∠CDF=2∠BAC时，如图③，$
$作线段AC的垂直平分线交x轴于点P,$
$连接 CP，$
$则 CP=AP.\ $
$∴∠BAC=∠ACP.$
$∴∠CPO=∠BAC+∠ACP=2∠BAC.$
$∴∠CDF=∠CPO.$
$设OP=m,$
$则CP=AP=4-m.$
$在Rt△OCP中,由勾股定理，得$
$OP²+OC²=CP².$
$∴m²+2²=(4-m)²，$
$解得m=\frac{3}{2}，$
$即OP=\frac{3}{2}$
$∴tan∠CPO=\frac{OC}{OP}=\frac{4}{3}$
$∴tan∠CDF= \frac{CF}{DF}=\frac{4}{3}\ $
$过点F作FK/x轴，交y轴于点K，$
$过点D作DQ∥y轴，交KF的延长线于点Q，$
$则∠Q=∠FKC=90°.$
$∴∠CFK+∠FCK=90°.\ $
$∵ DF⊥AC，$
$∴∠CFK+∠DFQ=90°.$
$∴∠FCK=∠DFQ.$
$又∵∠FKC=∠Q,$
$∴△FKC∽△DQF.$
$∴\frac{KC}{QF}=\frac{FK}{DQ}=\frac{CF}{FD}=\frac{4}{3}$
$∵QK//x轴，$
$∴△CFK∽△CAO.$
$∴\frac{KC}{OC}=\frac{FK}{AO}$
$∴ \frac{KC}{2}=\frac{FK}{4}，$
$即FK=2KC.$
$设QF=3n，$
$则KC=4n，FK=8n,DQ=6n,$
$OK=2-4n.$
$∴D(-11n,2+2n).$
$将点D的坐标代入y=-\frac{1}{2}x²-\frac{3}{2}x+2,得$
$2+2n=-\frac{1}{2}×(-11n)²-\frac{3}{2}×(-11n)+2，$
$解得n_{1}=0(不合题意，舍去)，n_{2}=\frac{29}{121}$
$∴-11n=-\frac{29}{11}，$
$即点D的横坐标为-\frac{29}{11}.$
$综上所述，点D的横坐标为-2或-\frac{29}{11}$
