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第2页

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$-\frac{1}{2}$

6或-1

$S=-\frac{1}{2}x²+18x$

$0＜x＜36$

$解:(1)由题意，得y=(4+x)(3+x)-4×3= x²+7x.$

$故y与x之间的函数表达式为y=x²+7x.$

$(2)把y=8代入y=x²+7x，得x²+7x-8=0，$

$解得x_{1}=1,x_{2}=-8(不合题意，舍去)，$

$所以当x的值为1时，矩形的面积增加8\ \mathrm {cm}².$

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$解：①0≤x≤4时，$

$∵正方形的边长为4\ \mathrm {cm}， $

$∴y=S_{△ABD}-S_{△APQ}， $

$=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}·x·x， $

$=-\frac{1}{2}x²+8. $

$②4＜x≤8时， $

$y=S_{△BCD}-S_{△CPQ}， $

$=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}·(8-x)·(8-x)， $

$=-\frac{1}{2}x²+8x-24. $

$综上，所求的函数关系式为：$

$y=\begin{cases}{8-\frac{1}{2}x²(0≤x≤4)\ } \\ {-\frac{1}{2}x²+8x-24(4＜x≤8)} \end{cases}$