第17页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

$解：(1) 因为抛物线 y=a x^2+b x+c 必经过点 (0， c)，$

$所以当 y_1=y_2=c 时，点 (0， c) 即为点 M 或点 N，$

$且 M， N 两点关于抛物线的对称轴直线 x=1 对称.$

$因为 x_1＜x_2.$

$故当 x_1=0， x_2=2 时， y_1=y_2=c.$

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C

$y_{2}＜y_{1}＜y_{3} $

$解：(1)因为 y=-x^2+6 x-5=-(x-3)^2+4，$

$所以该二次函数图像的顶点坐标为 (3，4).$

$(2) 由 (1)，得二次函数 y=-x^2+6 x-5 的图像开口向下，对称轴为直线 x=3，$

$且当 x\lt 3 时， y 随 x 增大而增大；当 x\gt 3 时， y 随 x 增大而减小；$

$当 x=3 时， y 的值最大，最大值为 4 .$

$在 y=-x^2+6x-5中，$

$令 x=1，得 y=-1^2+6×1-5=0；令 x=4，得 y=-4^2+6×4-5=3.$

$故当 1≤x≤4时，该函数的最大值为4，最小值为0.$

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$解:(2)因为 M(x_1， y_1)， N(x_2， y_2) 为拋物线\ $

$y=a x^2+b x+c 上任意两点，$

$所以 y_1=a x_1^2+b x_1+c， y_2=a x_2^2+b x_2+c，$

$所以 y_1-y_2$

$=a x_1^2+b x_1-a x_2^2-bx^2$

$=a(x_1+x_2)(x_1-x_2)+b(x_1-x_2)$

$=(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]$

$因为 y_1＜y_2$

$所以 (x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]\lt 0 为 y_1＜y_2$

$因为 x_1＜x_2，$

$所以x_1-x_2＜0$

$所以 a(x_1+x_2)+b\gt 0.$

$因为该抛物线的对称轴为直线 x=t，$

$所以 -\frac {b}{2\ \mathrm {a}}=t，$

$所以 b=-2\ \mathrm {a}\ \mathrm {t}，$

$所以 a(x_1+x_2)-2\ \mathrm {a}\ \mathrm {t}\gt 0 ，$

$所以 a(x_1+x_2-2\ \mathrm {t})\gt 0.$

$因为 a\gt 0，所以 2\ \mathrm {t}\lt x_1+x_2.$

$因为 x_1+x_2\gt 3，所以 2\ \mathrm {t} \leqslant 3，$

$所以 t \leqslant \frac {3}{2}.$

$故 t 的取值范围为 t \leqslant \frac {3}{2}.$

$解:(3) 在 y=-x^2+6 x-5 中，$

$令 x=t，得 y=-t^2+6\ \mathrm {t}-5；\ $

$令 x=t+3，得 y=-(t+3)^2+6(t+3)-5=-t^2+4.$

$当 t \leqslant x \leqslant t+3 时，\ $

$分类讨论如下：$

$①当 t+3\lt 3，即 t\lt 0 时， y 随 x 增大而增大，\ $

$则 m=-t^2+4， n=-t^2+6\ \mathrm {t}-5，$

$所以 m-n=9-6\ \mathrm {t}.$

$因为 m-n=3，所以 9-6\ \mathrm {t}=3，\ $

$解得 t=1 (不合题意，舍去)；$

$②当 t \leqslant 3\leqslant t+3，即 0 \leqslant t \leqslant 3 时， m=4.$

$若 0 \leqslant t \leqslant \frac {3}{2}，\ $

$则 n=-t^2+6\ \mathrm {t}-5，$

$所以 m-n=t^2-6\ \mathrm {t}+9，\ $

$所以 t^2-6\ \mathrm {t}+9=3，\ $

$解得 t_1=3-\sqrt{3}，\ $

$t_2=3+\sqrt{3} (不合题意，舍去)；$

$若 \frac {3}{2}＜t≤3，则n=-t²+4，$

$所以 m-n=t^2，所以 t^2=3，$

$\ 解得 t_1=\sqrt{3}， t_2=-\sqrt{3} (不合题意，舍去)；$

$③当 t \geqslant 3 时， y 随 x 增大而减小，\ $

$则 m=-t^2+6\ \mathrm {t}-5， n=-t^2+4，$

$所以 m-n=6\ \mathrm {t}-9，所以 6\ \mathrm {t}-9=3，\ $

$解得 t=2 (不合题意，舍去). $

$综上所述， t 的值为 3-\sqrt{3} 或 \sqrt{3}.$