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$解：连接​MD、​​ND​$

$∵​DE=DC，​​AD=BD，​​∠BDE=∠ADC=90°​$
$∴​△BDE≌△ADC​$
$∴​BE=AC=2，​​∠BED=∠C​$
$∵​M、​​N​分别是​Rt△BDE、​​Rt△ADC​斜边上的中线$
$∴​MD=BM=ME=1，​​ND=AN=NC=1​$
$∴​MD=ND=1，​​∠BED=∠MDE=∠C，​​∠EDN=∠A​$
$∴​∠MDE+∠EDN=∠A+∠C=90°，​即​∠MDN=90°​$
$∴​MN=\sqrt 2​$
$证明：过点​C​作​CG⊥FP​交​FP​延长线于点​G​$

$∵​CD⊥AB​$
$∴​BD//CG，​四边形​FDCG​是矩形$
$∴​CD=FG，​​∠B=∠PCG​$
$∵​AB=AC​$
$∴​∠B=∠ECP​$
$∴​∠ECP=∠PCG​$
$又​PC=PC，​​∠E=∠G=90°​$
$∴​△EPC≌△GPC​$
$∴​PE=PG​$
$∴​PE+PF=FG=CD​$
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