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第56页

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$解:因为ABCD为正方形$

$所以AB=AD$

$因为DF=BE，∠B=∠ADF=90°$

$所以△ADF≌△ABE$

$所以∠DAF=∠EAB，AE=AF$

$因为∠EAB+∠DAE=90°$

$所以∠DAF+∠DAE=90°$

$所以EF=\sqrt {AF²+AE²}=\sqrt {2}$

$证明:因为CD平分∠ACB， DE⊥AC，DF⊥BC$

$所以DE=DF，∠DFC= ∠DEC=90°$

$又因为∠ACB= 90°$

$所以四边形DECF是矩形$

$因为DE=DF$

$所以四边形DECF是正方形。$

$证明： (1)过点D作DM⊥AB于点M，$

$过点B作BN⊥AD于点N $

$由题意得CD//AB，AD//BC$

$所以四边形ABCD是平行四边形$

$因为这两个矩形纸片的宽相等$

$所以DM=BN$

$因为DM⊥AB，BN⊥CD$

$所以∠AMD=∠ANB=90°$

$在△ADM和△ABN中$

$\begin {cases}{∠AMD=∠ANB }\\{∠A=∠A} \\{DM=BN} \end {cases}$

$所以△ADM≌△ABN(\mathrm {AAS})$

$所以AD=AB$

$因为四边形ABCD是平行四边形$

$所以四边形ABCD是菱形$