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​$证明：连接​EG、​​EH、​​FG、​​FH，​$​
​$∵​E​为​AD​的中点，​H​为​AC​的中点，$​
​$∴​EH∥CD，​​EH=\frac {1}{2}CD，​$​
​$同理，​GF∥CD，​​GF=\frac {1}{2}CD，​$​
​$∴​EH∥GF，​​EH=GF，​$​
​$∴四边形​EGFH​为平行四边形，$​
​$∴​EF​与​GH​互相平分.$​

​$ 解:BC=2CF,理由如下:$​
​$∵D,E是AB,AC的中点$​
​$∴DE=\frac{1}{2}BC,DE//BF$​
​$∵EF//DC$​
​$∴四边形CDEF是平行四边形$​
​$∴DE=CF$​
​$∴BC=2CF$​
​$证明：​(1)​∵四边形​ABCD​是平行四边形，$​
​$∴​AB//CD，​$​
​$∴​∠GAE=∠HCF，​$​
​$∵点​G，​​H​分别是​AB，​​CD​的中点，$​
​$∴​AG=CH，​$​
​$∵​AE=CF，​$​
​$∴​△AGE≌△CHF(\mathrm {SAS})，​$​
​$∴​GE=HF，​​∠AEG=∠CFH，​$​
​$∴​∠GEF=∠HFE，​$​
​$∴​GE//HF，​$​
​$又∵​GE=HF，​$​
​$∴四边形​EGFH​是平行四边形．$​
​$​(2)​连接​BD​交​AC​于点​O，​$​
​$∵四边形​ABCD​是平行四边形，$​
​$∴​OA=OC，​​OB=OD，​$​
​$∵​BD=14，​$​
​$∴​OB=OD=7，​$​
​$∵​AE=CF，​​OA=OC，​$​
​$∴​OE=OF，​$​
​$∵​AE+CF=EF，​$​
​$∴​2AE=EF=2OE，​$​
​$∴​AE=OE，​$​
​$又∵点​G​是​AB​的中点，$​
​$∴​EG​是​△ABO​的中位线，$​
​$∴​EG=\frac {1}{2}OB=3.5．​$​
​$∴​EG ​的长为​3.5​$​

C
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