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$解：(1)根据题意，得S_{1}=(a+2)(a+1)=a^2+3a+2，S_{2}=(5a+1)×1=5a+1$

$当a=2时，S_{1}+S_{2}=4+6+2+10+1=23\ $

$(2)S_{1}\gt S_{2} ，理由：S_{1}-S_{2}=a^2+3a+2-5a-1=a^2-2a+1=(a-1)^2$

$∵a\gt 1$

$∴(a-1)^2\gt 0$

$∴S_{1}-S_{2}\gt 0$

$∴S_{1}\gt S_{2}$