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第61页

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$(8 + 8\sqrt{3})$

$1$

$27$

 解：

 (1)$BE = PC.$ 理由如下：

 连接$OB.$

 因为四边形$ABCD$是正方形，$O$为$AC$的中点，

 所以$OB = OC，$$OB\perp OC，$

 因为$OE\perp OP，$所以$\angle EOP=\angle BOC = 90^{\circ}，$

 所以$\angle EOB+\angle BOP=\angle POC+\angle BOP，$

 所以$\angle EOB=\angle POC，$

 因为$OE\perp OP，$$BP\perp CP，$

 所以$\angle E+\angle OPE=\angle OPC+\angle OPE = 90^{\circ}，$

 所以$\angle E=\angle OPC.$

 在$\triangle BOE$与$\triangle COP$中，

$\begin{cases}\angle E=\angle OPC,\\\angle EOB=\angle POC,\\OB = OC,\end{cases}$

 所以$\triangle BOE\cong\triangle COP(AAS)，$所以$BE = PC.$

 (2)$BP + CP=\sqrt{2}OP.$ 理由如下：

由

 (1)知，$\triangle BOE\cong\triangle COP，$所以$BE = CP，$$OE = OP，$

 所以$\triangle EOP$是等腰直角三角形，

 所以$EP=\sqrt{OE^{2}+OP^{2}}=\sqrt{2}OP，$

 因为$EP = BP + BE = BP + CP，$所以$BP + CP=\sqrt{2}OP.$