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第101页

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$\frac{2023}{253}$

$\frac{n - 1}{2n}$

$\frac{5}{2}$

 (1)解：

 因为$OA = 2，$$OC = 4，$四边形$ABCO$是矩形，所以$B(2,4)。$

 因为双曲线$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$经过点$B，$所以$k = 2\times4 = 8。$

 所以反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}。$

 由旋转的性质可得$AF = OA = 2，$所以$Q$点的纵坐标为$2，$

 把$y = 2$代入$y=\frac{8}{x}，$得$2=\frac{8}{x}，$解得$x = 4，$所以$Q(4,2)。$

 由旋转的性质可得$AD = OC = 4，$所以$OD = 2 + 4 = 6。$

 所以$P$点的横坐标为$6。$

 把$x = 6$代入$y=\frac{8}{x}，$得$y=\frac{4}{3}，$所以$P(6,\frac{4}{3})。$

 (2)证明：

 由题意可知$B(a,b)，$

 因为双曲线$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$经过点$B，$所以$k = ab。$

 因为$AD = OC = b，$$DE = OA = a，$且点$P$是$DE$的中点，

 所以$P(a + b,\frac{1}{2}a)。$

 因为双曲线$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$交$DE$于点$P，$

 所以$(a + b)\times\frac{1}{2}a = ab，$

 整理得：$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab=ab，$

 移项得：$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab - ab = 0，$

 即$\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab = 0，$

 提取公因式得：$\frac{1}{2}a(a - b)=0，$

 因为$a\neq0，$所以$a - b = 0，$即$a = b。$

 所以$OA = OC。$

 因为四边形$ABCO$是矩形，所以四边形$ABCO$是正方形。