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解：
(1)
∵点$A$在双曲线$y = \frac{6}{x}$上，
∴当$x = 2$时，$y=\frac{6}{2}=3.$
∴将$A(2,3)$代入$y = kx + 1，$得$2k + 1 = 3.$
∴$k = 1.$
(2)$0 ＜ x ＜ 2$或$x ＜ -3.$
(3)由题意可知$C(0,1)，$$CE = 4.$
如答图，过点$C$作$CG\perp DE，$垂足为$G，$可求得$CG = 2\sqrt{2}.$
又
∵$A(2,3)，$$C(0,1)，$
∴$AC = 2\sqrt{2}.$
由平移的性质可知，阴影部分的面积就等于平行四边形$ACFD$的面积，
∴阴影部分的面积为$2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=8.$
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解：
(1)
∵直线$y = -2x + 8$过点$A(1,a)，$$B(b,2)，$
∴$a = -2 + 8，$$2 = -2b + 8.$
∴$a = 6，$$b = 3，$
∴$A(1,6)，$$B(3,2).$
∵双曲线$y = \frac{k}{x}$过点$A，$
∴$k = 1\times6 = 6.$
∴所求反比例函数的表达式为$y = \frac{6}{x}.$
(2)不等式$\frac{k}{x} ＜ -2x + 8$的解集为$1 ＜ x ＜ 3$或$x ＜ 0.$
(3)如答图，作点$A$关于$y$轴的对称点$C，$则$C(-1,6)，$
连接$BC$交$y$轴于点$P，$连接$PA，$则此时$\triangle ABP$的周长最小.
设直线$BC$的函数表达式为$y = mx + n，$
则$\begin{cases}3m + n = 2\\-m + n = 6\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = -1\\n = 5\end{cases}，$从而$BC:y = -x + 5.$
在$y = -x + 5$中，当$x = 0$时，$y = 5，$故$P(0,5).$
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