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第136页

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 证明：

 $\because$四边形$ABCD$是平行四边形，

 $\therefore AB = CD，$$\angle B=\angle D，$$\angle BAD=\angle BCD.$

 $\because AE$平分$\angle BAD，$$CF$平分$\angle BCD，$

 $\therefore \angle BAE=\angle FCD.$

 在$\triangle ABE$与$\triangle CDF$中，

 $\begin{cases}\angle BAE=\angle DCF,\\AB = CD,\\\angle B=\angle D,\end{cases}$

 $\therefore \triangle ABE\cong\triangle CDF(ASA)，$$\therefore AE = CF.$

 (1)证明：

 $\because AE\perp BC，$$\therefore \angle AEB = 90^{\circ}.$

 $\because$四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AB = BC = CD，$$AB// CD.$

 $\therefore \angle ABE=\angle DCF.$

 又$\because CF = BE，$$\therefore \triangle ABE\cong\triangle DCF(SAS).$

 $\therefore \angle AEB=\angle DFC，$$AE = DF.$$\therefore AE// DF.$

 $\therefore$四边形$AEFD$为平行四边形.

 又$\because \angle AEF = 90^{\circ}，$$\therefore$平行四边形$AEFD$为矩形.

 (2)解：

 设$CD = x，$则$BC = x，$$CF = BF - BC = 16 - x，$

 在$Rt\triangle CDF$中，由勾股定理，得$CF^{2}+DF^{2}=CD^{2}，$

 $\therefore (16 - x)^{2}+8^{2}=x^{2}.$

 展开得$256-32x+x^{2}+64=x^{2}，$

 移项得$256 + 64=x^{2}-x^{2}+32x，$

 即$32x = 320，$

 解得$x = 10.$

 $\therefore CD$的长为$10.$

 (1)证明：

 $\because$四边形$ABCD$为菱形，

 $\therefore OB = OD，$$AB// CD.$

 $\because$点$E$为$AD$的中点，$\therefore OE$为$\triangle ABD$的中位线.

 $\therefore OE// AB，$$\therefore OE// GF.$

 $\because OG// EF，$$\therefore$四边形$OEFG$为平行四边形.

 $\because EF\perp CD，$$\therefore \angle EFG = 90^{\circ}.$

 $\therefore$四边形$OEFG$是矩形.

 (2)解：

 $\because$四边形$ABCD$是菱形，

 $\therefore AB = AD = CD = 10，$$OB = OD，$$AC\perp BD.$

 $\because$点$E$为$AD$的中点，$AD = 10，$

 $\therefore DE = AE = OE=\frac{1}{2}AD = 5.$

由

 (1)可知，四边形$OEFG$是矩形，

 $\therefore \angle EFG=\angle DFE = 90^{\circ}，$$FG = OE = 5.$

 $\therefore DF=\sqrt{DE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4.$

 $\therefore CG = CD - GF - FD = 10 - 5 - 4 = 1.$