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$解:方程两边同乘(x+2)(x-2)，$
$得3x(x-2)+2(x+2)=3(x+2)(x-2)，$
$解得x=4.$
$ 检验:当x=4时，$
$(x+2)(x-2)=(4+2)×(4-2)≠0，$
$所以x=4是原方程的解。$

$解:去分母，得x^2-3x-x^2=3x-18，$
$解得x=3.$
$ 检验:当x=3时，x^2-3x=0，$
$所以x=3是原方程的增根，原分式方程无解.$
$ \begin{aligned}解:原式&=(\frac{a+1}{a+1}-\frac{a}{a+1})•\frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)} \\ &=\frac{1}{a+1}•\frac{a+1}{a-1} \\ &=\frac{1}{a-1}. \\ \end{aligned}$
$当a=\sqrt 2+1时，\frac{1}{a-1}=\frac{1}{\sqrt 2+1-1}=\frac {\sqrt 2}{2}.$

$解:设张老师骑车的速度为x\mathrm{km/h}，则汽车的速度为3x\mathrm{km/h}，$
$根据题意，得 \frac{45}{x}-\frac{45}{3x}=2，解得x=15.$
$经检验，x=15是原方程的解.$
$答:张老师骑车的速度为15\mathrm{km/h}.$

$解:(1)由题意得x+y=\sqrt{5}，xy=1，$
$∴原式=(x+y)^2-xy$
$\hspace{1.12cm}=(\sqrt{5})^2-1$
$\hspace{1.12cm}=4.$
$(2)∵a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}，$
$∴\frac{1}{a}=2+\sqrt 3.$
$∴a-2=2-\sqrt{3}-2=-\sqrt{3}＜0.$
$∴原式=\frac{(a+3)(a-3)}{a-3}-\frac{2-a}{a(a-2)}$
$\hspace{1.12cm}=a+3+\frac{1}{a}$
$\hspace{1.12cm}=2-\sqrt{3}+3+2+\sqrt 3$
$\hspace{1.12cm}=7.$
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