解:设这个最简分数为$\frac{x}{y}。$
根据分子加上$1,$可以化简为$\frac{2}{3},$
可得$\frac{x + 1}{y}=\frac{2}{3},$即$3(x + 1)=2y,$$3x+3 = 2y。$
根据分子减去$1,$可以化简为$\frac{1}{2},$
可得$\frac{x - 1}{y}=\frac{1}{2},$即$2(x - 1)=y,$$2x-2 = y。$
将$y = 2x - 2$代入$3x + 3 = 2y$中,
得到$3x + 3 = 2(2x - 2)。$
展开括号:$3x + 3 = 4x - 4。$
移项可得:$4x - 3x = 3 + 4,$$x = 7。$
把$x = 7$代入$y = 2x - 2,$$y = 2×7 - 2 = 12。$
所以这个最简分数是$\frac{7}{12}。$
答:这个最简分数是$\frac{7}{12}。$